《微积分（第二版）》课件第一节不定积分的概念与性质.ppt

《微积分（第二版）》课件第四节极限的运算法则.ppt

第四节极限的运算法则,一,极限的四则运算法则二,复合函数极限运算法则,定理,一,极限的四则运算,第四节极限的运算法则,证明,定理中的,1,和,2,可以推广到有限个函数的代数和及乘积的极限情况,结论,2,还有如下常用的推论,结论,2,还有如下,

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1、,一、原函数与不定积分的概念二、基本积分公式三、不定积分的性质,第一节 不定积分的概念与性质,第一节 不定积分的概念与性质,问题导言：在运动学中,已知路程函数,则在时刻t 的瞬时速度.此类问题称为微分学问题.与其相反,已知速度函数,则确定时刻t 的路程,也即已知一个函数的导数或微分，寻求原来函数.此类问题称为积分学问题.,定义 设f(x)定义在区间I 内，如果对任意的 都有 或 则称F(x)为 f(x)在该区间上的一个原函数.,一、原函数与不定积分的概念,因为 所以,都是 的原函数.,例 因为,所以 是 在 上的原函数.,1.原函数的概念,问题：一个函数的原函数有多少个？这些原函数之间有何关系

2、？,第一，若F(x)为 f(x)在该区间 I上的一个原函数.即对任意的 都有.而所以F(x)+C为 f(x)在该区间上的一个原函数.,结论：一个函数的原函数如果存在则有无穷多个.,第二，设,是f(x)在区间 I 上的任意两个原函数.即,即 G(x)=F(x)C0(C0为某常数).,所以有 G(x)F(x)=C0，,于是,结论：若函数 f(x)在区间 I 上存在原函数，则其任意两个原函数之间只差一个常数.,定理 若函数 f(x)在区间 I 上存在原函数F(x)，则 为f(x)在区间 I 上的全部元原函数，其中C为任意常数。,由导数公式可得一些简单函数的原函数，见下表,定义 设函数 f(x)在区间

3、 I 有定义，F(x)为f(x)在区间 I上的一个原函数，则称f(x)原函数的一般表达式F(x)C(C为任意常数)为f(x)在区间 I 上的不定积分.记作,2.不定积分的概念,其中记号 称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x 称为积分变量，C为积分常数.,不定积分运算与微分运算之间有如下的互逆关系：,或,或,对于积分曲线族中的每一条积分曲线，在曲线上横坐标相同的点x处的切线斜率都等于f(x)。,例 设曲线通过点（1,2），且在任一点(x,y)处的切线斜率为2x，求此曲线方程.,解 设所求曲线方程为.按题意在任一点（x,y)处的切线斜率为,即2x 的原函数为,因为曲线过

4、点（1，2），故代入上得,于是所求曲线方程为,二、基本积分公式,三、不定积分的性质,性质 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面.即,性质 两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数不定积分的和(或差)，即,不定积分的上述性质也可以写成,利用此性质和不定积分基本公式，就可以直接求一些简单函数的不定积分.,例 求,解,利用定积分性质与基本积分公式求积分,例 求,解,在求简单函数的积分时,通常要利用定积分性质将所求积分化成基本积分公式形式再求积分.这种方法称为直接积分法.,练习：求积分,例 求不定积分,解,对由分式或根式表示的幂形式被积函数，应先化简再积分.,解,例 求不定积分,练习：求积分,例 求不定积分,解,例 求不定积分,解,例 求不定积分,解,例 求不定积分,解,例 求不定积分,解,求积分时通常要利用恒等式变形将被积函数化为积分表中的形式，然后求积分.,练习：求积分,例 某化工厂生产某种产品，每日生产的产品的边际成本C的是日产量q的函数,已知固定成本为1000元,求总成本与日产量的函数关系,解 因为总成本是边际成本的原函数，所以有,（K为任意实数）,已知固定成本为1000元，即，因此代入上式有,所以,