《微积分（第二版）》课件第五节微分.ppt

《微积分（第二版）》课件第一节微分方程基本概念.ppt

线性代数,高等学校经济管理学科数学基础,微积分,高等学校经济管理学科数学基础,中国人民大学出版社,第一节微分方程的基本概念,一,基本概念引例二,微分方程的基本概念,第九章常微分方程,导言,为了解决实际问题,经常需要确定反映客观事物内部间联系,

《《微积分（第二版）》课件第五节微分.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《微积分（第二版）》课件第五节微分.ppt（22页珍藏版）》请在上搜索。

1、,一、微分概念的提出二、微分的概念三、微分的几何意义四、微分公式与运算法则五、用微分作近似计算,第五节 微 分,第五节 微 分,问题导言 研究函数改变量的意义,函数改变量对于研究函数的局部特征,函数在此点周围的性态具有重要意义.微积分的许多重要概念都与其密切相关.,对于函数改变量的研究,不仅要考虑其极限特征,还要考虑其结构特征.微分概念就是由此提出的.,解 设此薄板的边长为x,面积为,则边长由 变到 面积改变量 为,一、微分概念的提出,例 正方形的金属薄板受热后边长由 变到 试确定其面积改变量.,其结构特征分析：,当 很小时可由线性主部代替改变量,例 自由落体运动.求当时间由 变到 时路程的改

2、变量.,解 当时间由 变到 时,路程改变量 为,当 很小时可由线性部分代替改变量,（以匀速代替变速）,将上述讨论概括如下：,由此引出微分概念.,二、微分的概念,定义 设y=f(x)在点 的某邻域内有定义，属于该邻域.若,其中A与 无关，而 是关于 的高阶无穷小，则称y=f(x)在 可微，而 称为y=f(x)在点 处的微分，记为,问题:函数改变量在什么条件下可以表达成,且当 很小时,设 在 处可导,则有,由极限性质，得,即,反之,若,则,所以,定理 y=f(x)可微的充分必要条件是y=f(x)可导,且有.,由于，即函数的导数等于函数的微分与自变量微分之比，因此导数也称微商.,(1)若 则,即,规

3、定,则微分可以表达为,微分概念说明：,(2)函数的微分与导数是等价的.,(3)当 很小时可以用微分dy 作为函数改变量的近似代替量.,三、微分的几何意义,微分代表曲线y=f(x)在点 处的切线的纵坐标的增量.,设函数 的图形是一条曲线，是曲线上点 处的切线，设 的倾角为，切线的斜率为.当自变量x有改变量 时，得到曲线上另一点，,四、微分的基本公式,五、微分的运算法则,定理 设u=u(x)，v=v(x)可微，则有,复合函数微分运算法则,若y=f(u)可微，不论u 是自变量还是中间变量，总有，这就是微分形式的不变性.利用微分形式的不变性，可以计算复合函数的微分.,设y=f(u),u=g(x)都可微

4、，则复合函数y=f(g(x)也可微，此时有,求函数 y=f(x)微分的基本方法：,1.利用导数求微分,求导数,写微分,.利用微分基本公式与微分运算法则求微分,例 设,解,例 设y=x tan xsin x，求dy.,解,也可以直接用公式 求微分.,例 设,解,如果不引入中间变量u，则可,例 设,解,例 设,解,例 设y=y(x)由 确定求.,解 方程两边求微分，得,解得,解 面积增量与微分分别为,六、微分在近似计算中的应用,(1)计算函数改变量的近似值,由微分概念可得当 很小时，函数改变量的近似计算公式,例 半径为r 的金属圆片加热后,半径增长了r 试写出其面积的改变量与微分.,，,设y=f(x)在 可导，当自变量从 变到 x，即取得 增量，则有,当x很接近 时，即 很小时，有近似公式,即,当 容易计算时，就可以用上述的近似公式来计算 附近点的函数值.,(2)计算函数值的近似值,特别地，在公式,可以证明下述公式,取 得公式,例,解,例,解,练习：求函数值的近似值,