《微积分（第二版）》课件第一节数项级数的概念及性质.ppt

《微积分（第二版）》课件第一节不定积分的概念与性质.ppt

一,原函数与不定积分的概念二,基本积分公式三,不定积分的性质,第一节不定积分的概念与性质,第一节不定积分的概念与性质,问题导言,在运动学中,已知路程函数,则在时刻t的瞬时速度,此类问题称为微分学问题,与其相反,已知速度函数,则确定时刻t的路,

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1、线性代数,高等学校经济管理学科数学基础,微积分,高等学校经济管理学科数学基础,中国人民大学出版社,第一节 数项级数概念及性质,一、数项级数概念二、数项级数及其性质,第八章 无穷级数,导言：无穷级数是研究无限个离散量之和的数学模型.它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的有力工具.本章主要介绍数项级数的概念、性质与敛散性判别法；幂级数的收敛性及将函数展开为幂级数.,第一节 数项级数概念及性质,求和运算是数学的最基本运算，从初等数学到高等数学随时都可以遇到，这些求和主要是有限项之和.如：数值相加、函数相加、数列求和等.,如：等比数列求和,实际问题中,除了要遇到有限项求和外,经常还要遇到从有限

2、个数量相加到无穷个数量相加的问题.,圆的面积问题:半径为 的圆的面积为.在圆内作圆的内接正六边形其面积为；以正六边形边为底顶点在圆周上作三角形其面积和为；以此类推有,则有,这里就出现了无穷个数量相加问题.,设数列,将数列的所有项按照给定的次序相加，得到表达式,用 表示上式的前n 项和，即,这样就得到一个数列,由数列极限概念，可知数列 在 时的极限，可以看成（1）式的和.,由等比数列求和公式得,于是,所以,此例说明为了解决无穷项相加问题，按照有限与无限之间的辨证转化关系，可以通过数列极限给出其和的概念，即数项级数概念.,一、数项级数的概念,若 收敛，则称,为级数 的余项.,例 判定级数 的收敛性

3、.,解 所给级数的前n项和,可知,故所给级数收敛，且和为1.,例 判定级数 的收敛性.,解 由 得,可知,由级数的敛散定义知，级数 发散.,例 判定等比级数 的敛散性.,解 若 时,当|r|1时,因,所以,即级数收敛.,当|r|1时,因,所以 即级数发散.,当 时,因 所以 即级数发散.,当 时,因 不存在,级数发散.,例(芝诺悖论)乌龟与阿基里斯赛跑问题:芝诺(古希腊哲学家)认为如果先让乌龟爬行一段路程后,再让阿基里斯(古希腊神话中的赛跑英雄)去追它,那么阿基里斯将永远追不上乌龟.,芝诺的理论根据是：阿基里斯在追上乌龟前,必须先到达乌龟的出发点,这时乌龟已向前爬行了一段路程,于是,阿基里斯必

4、须赶上这段路程,可是乌龟此时又向前爬行了一段路程如此下去,虽然阿基里斯离乌龟越来越接近,但却永远追不上乌龟.,该结论显然是错误的,但从逻辑上讲这种推论却没有任何矛盾这就是著名的芝诺悖论.在此,我们用数学的方法进行分析反驳.,设乌龟与阿基里斯起跑时的间距为,乌龟的速度为,阿基里斯的速度是乌龟的100倍,则由乌龟爬行到 的时间与阿基里斯到达 的时间相等有,以此类推,所以,阿基里斯在追赶乌龟时所跑的路程为,即,由计算可知当阿基里斯追到离起点处 时已经追赶上了乌龟.,二、数项级数的基本性质,性质1 若级数 收敛,其和为S,则对任意常数，则级数 也收敛,且其和为k S.,证 设级数 与 的部分和分别为

5、与,由于，于是极限 与 同时收敛或同时发散，从而级数 与 的敛散性相同.且,性质2 若 收敛,其和为S；收敛,其和为T 则 必收敛,其和为.,证 设，的部分和为，与,因为，所以,于是,所以，级数 收敛于,性质3 在级数 中去掉或添加有限项,所得新级数与原来级数的收敛性相同.,性质4 收敛级数添括号后所得级数仍收敛且和不变,例 判定 的收敛性.,解 因为等比级数 与 均收敛,所以由级数收敛性质知 收敛.,(1)若 收敛，发散,则 必定发散.,(2)若 发散，也发散,则 不一定发散.,(4)若 发散,则添括号的新级数不一定发散.,思考与练习：以下命题请给出证明或反例.,(3)若级数 发散,则级数(k0)必定发散.,定理(收敛必要条件)若 收敛,则必有,又 由极限的运算法则可知,证 由于 收敛，因此.,注意：这个定理的逆命题不正确,即级数的通项的极限为零，并不一定能保证 收敛.,推论 若 或 不存在,则 必定发散.,例 证明调和级数 发散.,证明一 构造几何图形，由图可知级数的部分和等于图形中矩形面积之和,此部分和大于曲边梯形的面积即,因,所以,故调和级数发散.,证明二 假设级数收敛其和为S,即 则,于是,而,故,由此矛盾，所以级数发散.,对于调和级数 有 但级数发散.,例 判定级数 的敛散性.,解 所给级数的通项，,所以级数为发散级数.,