《微积分（第二版）》课件第一节中值定理.ppt

《微积分（第二版）》课件第一节数项级数的概念及性质.ppt

线性代数,高等学校经济管理学科数学基础,微积分,高等学校经济管理学科数学基础,中国人民大学出版社,第一节数项级数概念及性质,一,数项级数概念二,数项级数及其性质,第八章无穷级数,导言,无穷级数是研究无限个离散量之和的数学模型,它是表示函数,

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1、线性代数,高等学校经济管理学科数学基础,微积分,高等学校经济管理学科数学基础,中国人民大学出版社,一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理,第一节 微分中值定理,第一节 微分中值定理,导数在实际问题中具有广泛的应用，利用导数可以求解未定式的极限问题；利用导数可以研究函数的基本性态、函数图形的特征；利用导数可以解决实际生活中的优化问题.微分中值定理是利用导数研究函数在区间上整体性质的有力工具和桥梁，微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。,几何特征：若曲线弧为a,b上连续弧段,在(a,b)内曲线弧上每点都有不平行于y 轴的切线,且曲线弧段在两个端点处的纵坐标相同,那么在

2、曲线弧段上至少有一点,过该点的切线必定平行于x 轴.,图形观察：设光滑曲线弧AB，将弦AB 平行移动，在曲线弧AB间存在点C，使直线与曲线在点C 处相切，且切线为水平.,一、罗尔定理,罗尔定理 设函数 f(x)满足条件:(1)在闭区间a,b上连续，(2)在开区间(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),说明：(1)罗尔定理的条件是充分条件,但不是必要条件.也就是说,定理的结论成立,函数未必满足定理中的三个条件.即定理的逆命题不成立.,例 在0,3上不满足罗尔定理的条件 但是存在 使.,(2)罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个条件定理将不成立.在下列函数中都有罗尔定理的一个条件不满足,相应的罗

3、尔定理结论不成立.,原点处不可导,端点处值不等,端点处不连续,例,显然多项式函数 f(x)为偶函数，且连续可导.,满足罗尔定理条件,例,证,于是，存在 使得,二、拉格朗日定理,图形观察：设光滑曲线弧AB，将弦AB 平行移动，在曲线弧AB间存在点C，使直线与曲线在点C 处相切，且切线平行于弦AB.,几何特征：如果在a,b上的连续曲线,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,那么在曲线弧上至少有一点使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.也即有相同的斜率.,定理 设函数 f(x)满足:在闭区间a,b上连续,在开区间(a,b)内可导,则至少存在一点 使得,分析 由拉格朗日定理的几何特征可知,若在定

4、理中增加条件 f(a)=f(b),则化为罗尔定理.因此,如果能由f(x)构造一个新辅助函数 使其在a,b上满足罗尔定理条件,且由此能导出拉格朗日定理结论,则问题可解决.,考虑到拉格朗日定理结论的几何特征是在曲线弧上至少有一点 使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线.即在该点曲线的切线斜率与弦线的斜率相等.也即在该点曲线与弦线的导数相等或二者之差导数为零.,辅助函数 的构造：,弦线的方程为,作辅助函数,的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端点连线对应的纵坐标之差.,则有 也即,证 令,由于f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导.因此 在a,b上连续,在(a,b)内可导.且,由罗尔定理

5、知,至少存在一点 使,即,或写成,因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.,如果f(x)在(a,b)内可导，则在以 为端点的区间上 f(x)也满足拉格朗日中值定理，即,其中 为之间的点.也可以记为,或,证 对于(a,b)内任意点 由拉格朗日定理得,故有 f(x1)=f(x2).,推论1 若 则,由推论1可知 f(x)g(x)=C,证明 由已知条件及导数运算性质可得,即 f(x)=g(x)+C.,推论2 若 则,例 试证,证 设f(x)=arctan x,(ab).,可知必定存在一点,使得,显然arctan x在a,b上满足拉格朗日中值定理条件.,由于，因此,例 当x0时,试证不等式,证明 取

6、f(t)=ln(1+t),则 f(t)=ln(1+t)在区间0,x上满足拉格朗日中值定理,因此必有一点 使得,说明 本例中若令y=ln t,a=1,b=1+x,亦可利用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明不等式时,f(x)与a,b的选取不是唯一的.,即,进而知,例 证明,证,内可导，且,三、柯西中值定理,定理 设函数 f(x)与 g(x)满足：在闭区间a,b上都连续,在开区间(a,b)内都可导,在开区间(a,b)内,且 则至少存在一点 使得,若在拉格朗日定理的几何背景中曲线由参数方程表述由参数方程的导数公式可推出下述柯西定理.,推广,特例,中值定理之间关系,在柯西定理中,若取 g(x)=x,则得到拉格朗日定理.因此柯西定理可以看成是拉格朗日定理的推广.在拉格朗日定理中,若取 f(a)=f(b),则得到罗尔定理.因此拉格朗日定理可以看成是罗尔定理的推广.,罗尔定理,拉格朗日定理,柯西定理,推广,特例,拉格朗日 Joseph-Loouis Lagrange(1736-1813),拉格朗日 法国数学家、力学家、天文学家.拉格朗日在中学时代就感兴趣与数学与天文学，曾以自学方式钻研数学，成