《微积分（第二版）》课件第一节数列的极限（分析定义）.ppt

《微积分（第二版）》课件第四节反常积分.ppt

一,无穷限的反常积分二,无界函数的反常积分,第四节反常积分,三,函数,第四节反常积分,导言,定积分的积分区间是有限区间,被积函数为有界函数,但在实际问题中,往往需要突破这两个限制,来考察无穷区间上的积分或无界函数的积分,从而形成了反常积分的,

《《微积分（第二版）》课件第一节数列的极限（分析定义）.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《微积分（第二版）》课件第一节数列的极限（分析定义）.ppt（23页珍藏版）》请在上搜索。

1、1,线性代数,高等学校经济管理学科数学基础,微积分,高等学校经济管理学科数学基础,中国人民大学出版社,第一节 数列的极限,一、数列的概念二、数列的极限三、数列极限存在准则,问题导言 极限思想方法的历史渊源,第一节 数列的极限,自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的,而必须通过分析一个无限变化的过程的变化趋势才能求得结果,这正是极限思想和极限概念产生的客观基础.,极限思想的渊远流源,早在2500年前就已产生.,古希腊伟大数学家阿基米德(Archimedes公元前287212年)曾用穷竭法解决过曲边三角形的面积.,公元三世纪,我国古代数学家刘徽在其所著的九章算术中增用割圆术解决了圆

2、的面积.,这些方法中都已渗透着极限的思想.,刘徽割圆术,阿基米德穷竭法,x,o,y,一、数列的概念,定义 按一定顺序排列起来的无穷多个数,称为数列.通常称 为数列的第一项,为第二项，将第n项 称为通项或一般项.数列可以简记为.,例,数列 可以理解为关于正整数n的函数，,因此,数列又称为整变量函数,其定义域是正整数集.,数列的几何表示(1)用数轴上的点列表示数列.,数列与函数的关系,(2)用坐标面上的点表示数列.,单调增加的.,单调增加或单调减少的数列统称为单调数列.,单调减少的.,例,定义,在数轴上,单调增加的数列是自左向右依次排列的点列.单调减少的数列是自右向左依次排列的点列.,定义 对于数

3、列,若存在正数M,使得对于一切的n 都有 成立,则称数列 是有界的,否则称 是无界的.,例,为有界数列.,在数轴上,对有界数列表示的点列全部落在某一区间M，M 之内,表示无界数列的点列,无论区间M，M 多么长,总有落在该区间之外的点.,圆内接正多边形的面积数列,1.割圆术 我国古代数学家刘徽在九章算术关于圆的面积计算中提到:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”,圆内接正六边形的面积,圆内接正十二边形的面积,圆内接正 边形的面积,二、数列极限问题引例,2.截丈问题,我国古代著名的“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的论断,就是数列极限思想的体现.,变化趋势,观察下

4、列数列的变化趋势.,三、数列的极限,数列的变化趋势,可以通过平面直角坐标系上的图形来直观表示.,(3)当n 无限增大时，没有确定的变化趋势.,(2)当n 无限增大时，无限接近于0.,(1)当n无限增大时，无限接近于1.,数列的变化趋势,(4)当n 无限增大时，无限增大.,定义 设数列,若当n无限地增大时,无限趋近 于某一确定常数 A,则称常数 A为数列 在 n 趋于无穷大时的极限.记为,观察几何图形可知下述数列的极限,数列极限定义的精确化,数列极限定义用逻辑语言表述为：,注：正数 具有任意性和给定性，它是用于衡量 与A接近程度的.,极限定义的几何意义 当 时，所有点 全部落在区间 内，只有有限

5、多个（最多N个）点落在区间之外.当n无限增大时，区间 向点A无限收缩，介于区间 内的点 就向A无限趋近.,例 证明,分析 因为,对于任意给定，要使，只要,证明 对于任意给定，取,所以,例 证明,证明 由于,所以,因此，要使 只要 即，于是,对于任意给定，取,四、收敛数列的性质,定理(唯一性)若数列 收敛,则其极限唯一.,定理(有界性)收敛数列必有界.,例 数列 是有界的,而 是发散的.,说明:(1)无界数列一定是发散的.,(2)数列有界是数列收敛的必要条件,但非充分条件.,定理（单调有界原理）单调有界数列必有极限.,单调有界准则 单调有界数列必有极限.,准则的几何解释:在数轴上,对应于单调数列 的点列只能从 开始向一个方向排列,所以只有两种可能情况：或者点列 沿数轴移向无穷远处(此时 发散)；或者点列 无限趋近于某一个定点a(常数)，也就是 以A为极限.,因此,对有界数列必有极限.,例 设 观察数列 的极限,由数据和图形观察数列的变化趋势,可以看出，当 时，数列变化的大致趋势是单调递增，且 可以证明,数e是一个无理数,