《微积分（第二版）》课件第四节反常积分.ppt

《微积分（第二版）》课件第四节曲线的凹凸性与拐点.ppt

一,曲线凹凸性与拐点的定义二,曲线凹凸性的判别,第四节曲线的凹凸性与拐点,函数图形向上弯曲,曲线为凹的,函数图形向下弯曲,曲线为凸的,问题导言,为了描绘函数的图形,仅知道函数的增减性和极值是不够的还要了解曲线的弯曲方向,第四节曲线的凹凸性与,

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1、,一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分,第四节 反常积分,三、函数,第四节 反常积分,导言：定积分的积分区间是有限区间，被积函数为有界函数，但在实际问题中，往往需要突破这两个限制，来考察无穷区间上的积分或无界函数的积分，从而形成了反常积分的概念.相应地，前面所讨论的定积分也叫做常义积分.本节主要讨论两类积分问题：（1）无限区间上的积分问题；（2）无界函数的积分问题.,一、无穷限的反常积分,引例,解 考虑曲线 与直线x=b及 x 轴所围成图形的面积,则所求图形的面积为,定义 设函数 f(x)在区间 上连续,取 ba 称极限 为函数f(x)在无穷区间 上的反常积分，记作,即,若极限 存在，则

2、称反常积分 收敛；若极限 不存在，则称反常积分 发散.,无穷区间 上的反常积分定义为,类似地，无穷区间 上的反常积分定义为,上述三种积分统称为无穷限的反常积分.,(c 为任意定常数),解,同定积分类似，无穷限反常积分也有类似于定积分的微积分基本公式、线性运算法则、换元积分法与分部积分法等,但要注意每一步运算过程必须是收敛的.,引入记号,则有计算表达式:,例 求积分,解,例 求积分,解,在此,解,例,证明,引例 求曲线 与 x 轴,y 轴和直线x=1所围成图形的面积.,二、无界函数的反常积分,解 因为,函数 在（0,1上无界，,此时，所求面积可以定义为,定义 设函数f(x)在(a,b上连续，且

3、取，称极限 为f(x)在(a,b上的无界函数的反常积分，记为,若极限 存在，则称反常积分 收敛.若极限不存在，就称反常积分 发散.,若函数 f(x)在a,b)上连续，且 则反常积分定义为,当极限 存在称其收敛，否则发散.,此时，如果上式右端反常积分 都收敛，则称反常积分 收敛,否则称反常积分 发散.,上述三种积分统称为无界函数的反常积分.无界函数的反常积分也称为瑕积分，相应的无穷间断点称为瑕点.,若函数f(x)在a,b上除点x=c(a,b)外都连续,且，则反常积分定义为,例 计算反常积分,解 显然瑕点为 a,所以,说明：由于无界函数的反常积分其形式与定积分一致，因此，在求积分时首先要区分是定积分还是无界函数的反常积分.,例 求积分,解 因为x=0为被积函数的瑕点，所以,注：在上式中，由洛必达法则有,例 讨论瑕积分 的收敛性.,解 在0,2 内部有被积函数的瑕点x=1，取,所以，瑕积分发散.,（瑕点在区间的端点处）,（该极限不存在）,（瑕积分定义）,例,解,三、函数,性质,证明,由分部积分公式可得,