《微积分（第二版）》课件第一节导数概念.ppt

《微积分（第二版）》课件第四节函数的幂级数展开.ppt

第四节函数的幂级数展开,一,泰勒公式二,泰勒级数三,将函数展开幂级数,第四节函数的幂级数展开,问题导言,计算特殊数值,以及一些基本初等函数的函数值具有广泛的应用价值,解决这些值计算的一种有效方法是利用函数逼近,关于函数逼近首先要考虑两方面问,

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1、线性代数,高等学校经济管理学科数学基础,微积分,高等学校经济管理学科数学基础,中国人民大学出版社,一、速度与切线二、导数的概念三、函数可导性与连续性的关系四、函数变化率与边际模型,第一节 导数概念,第一节 导数的概念,问题导言微分学产生的历史背景,十七世纪人类创建了微积分.微积分的创建是人类精神的最高胜利.它对自然科学的发展产生了深远影响.,在此期间,在自然科学领域发生了几件重大事件：1608年望远镜的发明,引起了天文学研究的高潮,推动了光学研究的发展.1619年开普勒经过观测研究,提出了行星运动三大定律,引起了全世界的关注.,在此阶段,人们提出了一系列与物体运动速度、加速度,曲线的切线相关联

2、的问题.,这些问题将其概括为两类：(1)变速直线运动物体的瞬时速度问题.(2)平面曲线的切线问题.,1638年伽利略建立了自由落体定律与动量守恒定律的数学表达式,激起人们用数学求解问题的热情.,这两类问题尽管内容和提法不同,但从思想方法上看都有一个共同的特征就是研究变量的变化程度及其相互关系.研究的代表人物是科学大师牛顿与莱布尼茨.,一、速度与切线,例 设物体作自由落体运动,其运动方程为.其中s 表示位移,t 表示时间.求 时刻的瞬时速度,分析 对瞬时速度的理解 速度:用来描述物体运动快慢的物理量称为速度.,这里的速度是与时间间隔相关联的,它是距离与时间 之比,它反映的是该段时间间隔内的平均速

3、度.,即,瞬时速度:物体运动中某一时刻的速度.在此无时间间隔、无法运动、无法体现速度,构成矛盾体.为了确定瞬时速度就要给出数学上瞬时速度的定义.,问题解决的思想方法：,欲求瞬时速度,其平均速度为,问题的求解过程：,当时间 很小时,在此 越小,越接近v,当 小得不能再小时,当时间 在 取得增量 时,位移有增量,数据观察：时 随 的变化情况,由极限概念知,瞬时速度为平均速度的极限,设物体作变速直线运动,其运动方程为s=s(t).其中s 表示位移,t 表示时间.求 时刻的瞬时速度,则在t0到 这段时间内的平均速度为,当时间 在 取得增量 时,则在 到 的时间段内,位移有增量,1.变速直线运动的瞬时速

4、度,当 越小时,平均速度将越接近瞬时速度,当 无限趋近于零时,平均速度也将无限趋近瞬时速度.为此,瞬时速度为平均速度当 时的极限,即,在此,平均速度 称为位移 s 在 t0 到 时间段内的平均变化率,而瞬时速度 则称为位移 s 在时间t=t0的(瞬时)变化率.,变速直线运动的速度概括,2.平面曲线的切线斜率,圆的切线:与圆只有一个接触点的直线称为圆的切线.,对于一般曲线而言与曲线只有一个接触点的直线未必为曲线的切线.,莱布尼茨曾把曲线的切线定义为连接曲线上无限接近的两点的直线.,附近另取C 上一点 N,作割线 N.,割线的极限位置 T是指:当点 N 沿曲线C 趋于 时,弦长,且夹角,M,C,T

5、,N,切线的定义：,设有平面曲线C及C上一点,当点 N 沿曲线,C 趋于 时,如果割线 N,直线 T 就称为曲,绕点 旋转而趋于极限位,在点,置 T.,线 C 在点 处的切线.,平面曲线的切线斜率,M 为曲线上一点,N 为M 附近,当 时,割线斜率的极限值就是切线的斜率.,T,M,N,x0,x0+x,y,O,x,L,x,y,y=f(x),割线斜率为,设平面曲线 y=f(x),一点,作割线 M N.,瞬时速度与曲线的切线斜率对比概括,二、导数的概念,定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，属于该邻域,记 若极限,即,存在,则称其极限值为y=f(x)在点x0 处导数,记为,或记为 即,即函数

6、在x0的导数值等于其导函数在x0的函数值.,定义 设 y=f(x)在(a,b)内每个点都可导,则称,为y=f(x)在(a,b)内的导函数,简称导数.或记为,给定点的导数与导函数之间关系,说明：导数也可表示为,y=f(x)在(a,b)内可导.若,则称,若在点 M 处函数可导则其切线方程为,导数的几何意义,导数的几何意义是曲线y=f(x)在点M(x0,f(x0)处的切线斜率.,单侧导数,左导数,右导数,或,定理 函数y=f(x)在x=x0可导的充分必要条件是y=f(x)在 x=x0 的左、右导数存在且相等.,例 讨论函数 在 x=0 处的可导性.,解,所以y=f(x)在x=0可导,且,三、可导性与连续性的关系,设 f(x)在x=x0 可导,即,此时,即有,则由极限定理知,例 讨论 f(x)=|x|在点x=0处的连续性与可导性.,因此 f(x)=|x|在x=0连续.,因此 f(x)=|x|在点x=0 处不可导.,解,所以,解,因此 在点x=0处连续，但,因此 在点x=0处不可导.,(极限不存在).,综上所述,若y=f(x)在点x0处可导,则y=f(x)在点x0 处连续,反之不然.,例 讨论f