《微积分(第二版)》课件第二节多元函数.ppt
一,二元函数二,二元函数的极限与连续三,多元函数,第二节多元函数,导言,多元函数是多元函数微积分学研究的对象,同一元函数类似对于多元函数也有极限,连续等基本概念,这些内容作为一元函数在多元函数中的推广,它与一元函数相关内容类似且密切相关,在,
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1、,一、二重积分的概念与性质二、二重积分在直角坐标系中计算三、二重积分在极坐标系中的计算四、二重积分的几何应用,第八节 二重积分,三、二重积分在极坐标系下的计算,1.极坐标系下的面积微元,二重积分在极坐标系中面积微元为,在极坐标系中,用r=常数和=常数来分割区域 D.,设 是由半径为r 和 的两个圆弧与极角等于 和 的两条射线所围成的,小区域.这个小区域近似地看作是边长为 和 的小矩形,所以它的面积,若点M在直角坐标系中坐标为(x,y),在极坐标系中坐标为,则有关系:,分别将 代入二重积分表达式中,可得二重积分在极坐标系下表达形式,此式称为二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式.,所以,
2、2.极坐标系下化二重积分为二次积分,(1)若极点在区域 D 之外.,则有,(2)极点在区域D的边界线上,D:,则有,x,o,(3)若极点在区域 D 的内部,则有,D:,如果积分区域 D为圆、半圆、圆环、扇形域等,或被积函数 为f(x2+y2)形式,利用极坐标常能简化计算.,利用极坐标计算二重积分积分特征,极坐标下二重积分计算的基本步骤,1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分.,(1)将 代入被积函数.,(3)将区域 D 的边界曲线换为极坐标系下的表达式,确定相应的积分限.,(2)将面积元素dxdy换为.,2.将极坐标系下的二重积分转化为二次积分.,例 计算二重积分 其中区域D为