《微积分（第二版）》课件第二节洛必达法则.ppt

《微积分（第二版）》课件第七节多元函数的最优化问题.ppt

一,函数的最值二,实际问题中的最值三,经济学中的最值问题,第七节多元函数优化问题,第七节多元函数优化问题,一,二元函数的最值,最值存在定理,若函数z,f,y,在闭区域D上连续,则一定存在最大值与最小值,闭区域D上可微函数的最值求法,1,先求,

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1、,一、洛必达法则与 型未定式二、拉格朗日中值定理,第二节 洛必达法则,确定未定式的极限是求极限的主要类型常见的未定式主要有：在同一极限过程下,第二节 洛必达法则,由无穷小的商和无穷大的商形成的 型未定式；由无穷小与无穷大的积形成的 型未定式；由无穷大与无穷大的差形成的 型未定式；由无穷小与无穷大之间的幂形成的 型未定式.,如何来求解这些未定式的极限？法国数学家洛比达给出了解决这些未定式极限的最有力工具洛比达法则.,定理(洛比达法则)若f(x)和g(x)满足下列条件：,那么,证 由于讨论的是函数在点 的极限，而极限与函数在点 的值无关，所以补充 与 在 的定义令，则 与 在点 连续在 附近任取一

2、点x，并应用柯西中值定理，得,所以,那么,定理(洛比达法则)若f(x)和g(x)满足下列条件：,对于 型未定式极限也有类似的求极限法则,说明:(1)对于求 未定型极限的洛比达法则,不仅适用于极限过程,对于极限过程 只要定理的条件作相应的修改,定理的结论仍成立.,(2)在使用洛比达法则求极限时,判别是否为 未定型是使用法则求极限的前提.若法则使用后仍为 未定型,则法则可以重复使用.,例 求极限,例,极限为 未定型,由洛必达法则有,解,例,解,极限为 未定型,由洛必达法则有,例,解,例,解,例,解,极限为 未定型,由洛必达法则有,例 求极限,由等价无穷小代换,得,例,因为,也可由等价代换求此极限,

3、例 求极限,解 先用无穷小等价代换化简，再用洛必达法则得,（等价代换化简）,（洛必达法则）,（运算法则）,使用洛比达法则应注意的问题：,1.使用前必须判别是否为 未定式.,2.使用中要注意化简，以及将极限存在的因式进行必要的分离.,3.使用中要注意与重要极限、无穷小等价代换等其他求极限方法结合使用.,4.使用后对极限不存在情形（除外），以及难于确定极限，应另寻其他解决方法.,说明：若 型或 型极限中含有非零因子,应单独求极限而不要参与洛必达法则运算,可以简化极限运算.,例,为 型,由洛必达法则有,解,所以,例 证明 存在但不能用洛必达法则求解,解 因为,所以，所给极限存在但由洛必达法则,该极限不存在，于是所给极限不能用洛必达法则求出,对于 型可将其化为 型或 型未定型.,二、其它未定式的极限,为型 未定型.,若,则称,例,解,若,对于 型可将其化为 型或 型未定型.,例,解,（3）对于由 产生的 未定型,可以通过取对数将其化为 未定型.,例,解 所求极限为 型未定式，,所以,例,解 所求极限为 型未定式，,所以,