《微积分（第二版）》课件第三节幂级数.ppt

《微积分（第二版）》课件第二节洛必达法则.ppt

一,洛必达法则与型未定式二,拉格朗日中值定理,第二节洛必达法则,确定未定式的极限是求极限的主要类型常见的未定式主要有,在同一极限过程下,第二节洛必达法则,由无穷小的商和无穷大的商形成的型未定式,由无穷小与无穷大的积形成的型未定式,由无穷大与,

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1、,第三节 幂级数,一、幂级数概念二、幂级数的运算与性质,第三节 幂级数,问题导言 研究幂级数的意义,借助计算器、计算机我们可以很容易计算基本初等函数,的函数值.那么，这些函数值通过什么程式计算的呢？其答案就是幂级数.,幂级数的应用不仅体现在函数值的计算，借助幂级数还可以解决积分、极限、微分方程的解等问题.幂级数是级数中最重要且应用最广泛的一种级数.本节主要介绍幂级数的概念、运算与性质.,一、幂级数的概念,定义 设 是定义在区间I 内的函数则称和式为定义在 I 内的函数项级数.,对于I 内的每一个值,函数项级数都化为常数项级数,即,1.函数项级数,级数的前n项和称为部分和,在 的收敛域内有.,称

2、 S(x)为级数 的和函数.称,为 的余项.在收敛域内总有,定义 如果 收敛，则称x0为 的收敛点,级数 的收敛点的集合称为该级数的收敛域.如果 发散，则称x0为 的发散点.,例 求函数项级数 的收敛域与和函数.,解 对于给定的x，由等比级数知，当 时,而当 时，级数 发散,所以，幂级数的收敛域为，和函数为,称为关于 的幂级数.,定义 形如,(其中 都是常数)的函数项级数，称为x的幂级数.称 为幂级数的系数.一般地,2.幂级数的概念,级数,对于形如的幂级数，将 换成x则可将其变为形如 的幂级数,3.幂级数的收敛域,问题：幂级数收敛点的分布情况如何？,例 求幂级数 的收敛域.,解 对于任意给定的

3、x,考察正项级数,由比值法知,当 时,级数 发散；当 时,级数 收敛；当 时,收敛,所以收敛域为,此例说明幂级数的收敛域是以原点为中心的对称区间.,(1)幂级数 在x=0处收敛.,定理(阿贝尔定理)设给定幂级数 则,(2)若 在 处收敛，则对于一切适合 的x，幂级数 绝对收敛.,(3)若 在 处发散，则对于一切适合 的x，幂级数 发散.,显然，幂级数 在x=0处收敛.即(1)成立.,因此存在 使,证明(2)若级数 收敛,则,由于,从而几何级数 收敛.,即 绝对收敛.,定理说明：如果幂级数 在x0处收敛，则在区间 内绝对收敛；如果幂级数在 处发散，则在 之外的任何点 x 处必定发散.,推论 如果

4、幂级数 不是仅在x=0处收敛,也不是在整个数轴都收敛，则必存在正数 R，使得,定义 通常称上述 R为幂级数 的收敛半径，称(R,R)为幂级数的收敛区间.,如果对于任意 x,幂级数 都收敛,则定义其收敛半径为，收敛区间为.,如果幂级数 仅在 x=0 处收敛，则定义其收敛半径 R=0.,定理 设,若,则,证 对于给定的 x，为常数项级数.对于级数,当,即 时，绝对收敛，,当,即 时,发散，,所以收敛半径,由比值法知,因,当,对于任意的x值,总有,所以幂级数 在 内绝对收敛.,当,对于任意的 值,总有,所以幂级数 对任何 都发散.它只在x=0处收敛即收敛半径为R=0.,但当 时，可能收敛，也可能发散

5、.,例 求幂级数 的收敛半径与收敛区间.,解 由于,可知收敛半径R=0，所给级数仅在x=0处收敛.,例 求幂级数 的收敛半径与收敛区间.,解 由于,可知收敛半径，收敛区间为.,例 求幂级数 的收敛半径与收敛域.,解 因为,所以收敛半径，,收敛区间为(1,1).,当x=1时,级数为交错级数 收敛.,当x=1时，原级数为调和级数 发散.,故原幂级数的收敛域为1,1).,例 求幂级数 的收敛半径与收敛区间.,解 设y=x1，则原级数化为.,可知收敛半径，收敛区间为,即1×11，也即收敛区间为 0 x2.,因为,当 时，,发散.因此,收敛半径为R=收敛区间为.,例 求级数 的收敛区间.,当 时,级数绝

6、对收敛，,解 因级数中只含x的偶次幂,不能用前述定理.应采取比值法,且 在区间(R,R)内收敛.,若 与 的收敛区间分别为 与,和函数分别为S(x)与，则有下列性质.,(1)两幂级数 与 可以逐项相加，即,二、幂级数的运算与性质,1.幂级数的加法与乘法运算,(2)幂级数 与 可按下述规则相乘,即,(1)幂级数 的和函数 S(x)为其收敛区间内的连续函数.,2.幂级数的分析性质,(2)若 的收敛半径为R，则其和函数S(x)在其收敛区间(R,R)内可导,且有逐项求导公式：,(3)若 的收敛半径为R,则其和函数S(x)在其收敛区间(R,R)内可积,且有逐项积分公式：,例 求 的收敛区间与和函数.,解 所给级数的系数，,因而收敛半径，收敛区间为(1,1).,则,两边积分得,设,其中S(0)=0，所以,即,例 求 的收敛区间与和函数.,解 所给级数 的系数,因此收敛半径，收敛区间为(1,1).,令所给级数在收敛区间(1,1)内的和函数为S(x)，,故,即,因,