《微积分（第二版）》课件第五节定积分的应用.ppt

《微积分（第二版）》课件第二节一阶微分方程.ppt

第二节一阶微分方程,一,可分离变量的微分方程二,齐次微分方程三,一阶线性微分方程,第二节一阶微分方程,一阶微分方程的基本形式为,或,一,可分离变量微分方程,形如,的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程,方程的主要特征,等式左端为一阶导数,等,

《《微积分（第二版）》课件第五节定积分的应用.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《微积分（第二版）》课件第五节定积分的应用.ppt（22页珍藏版）》请在上搜索。

1、,一、定积分的几何应用二、定积分在经济学中的应用,第五节 定积分的应用,第五节 定积分的应用,回顾：曲边梯形面积的求解过程及思想方法,定积分概念源于几何问题，利用定积分可以求解常见的几何量：面积、体积和弧长.,(1)分割 化整为零,(2)近似 以常代变,(3)求和 积零为整,(4)极限 无限累加,(1)分割 分割S为n个部分量的和,(2)近似,(3)求和,(4)取极限,求积过程的简化 微元法,(1)求微元 取任意子区间,部分量的近似值为 称其为微元.记为,(2)求积分 将微分元素在区间a,b上积分得整体量值为,求积分过程,微元法,这两步是关键,1.定积分应用的微元法,(1)求微元 取区间a,b

2、的任意子区间,落在该小区间上的部分量 的近似值为 称其为微分元素(简称微元).记为,(2)求积分 将微分元素在区间a,b上积分得整体量值为,问题：求分布在区间a,b上具有可加性（可以表示成部分量的和）非均匀整体量S的值.,上述方法称为定积分应用的微元法.,可用定积分来表示的非均匀整体量S的特征：,2.平面图形的面积,利用定积分的微元法,例,解,例 求抛物线 与直线 所围成图形的面积.,解 解方程组,得交点(1,1)及(-2,-2)；,取x为积分变量，变化范围为-2，1，于是所求图形面积为,例 求抛物线 与 所围成图形的面积.,解 解方程组,得交点(1,1)；,（1）取x为积分变量,（2）取y为

3、积分变量,3.用定积分求几何体的体积,（1）旋转体的体积,利用定积分的微元法,例 计算由椭圆 绕x轴旋转一周所成的旋转体(旋转椭球体)的体积.,解,（2）平行截面面积已知的几何体体积,利用定积分的微元法,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,二、积分在经济学中的应用,1.由边际函数求总函数,因此，总成本函数可以表示为,例 已知某产品的边际成本函数为固定成本为55，求总成本函数.,解1 由不定积分求解,由 代入上式解得，所以，,解2 由不定积分求解,例 已知生产某种产品q单位时,边际收益为(元/单位).求(1)总收益函数；(2)生产100个单位产品后再生产100个单位产品的总收益.,解,2.由边际函数求总函数的极值 设生产单位产品的边际收益为,边际成本为，固定成本为,由极值的必要条件知，要使产品的利润 最大应满足,如果 时利润最大，则最大利润可由积分表示为,例 某种产品每天生产q单位时的固定成本为 时，边际成本为（元/单位）边际收益（元/单位），求：（1）每天生产多少单位时利润最大？最大利润是多少？（2）从利润最大时的产量又生产了10个单位的产品，总利润为多少？,解（1）由利润最大原则知，要使利润最大，则,即从最大利润的生产量单位,再生产10个单位产品利润减少30元.,