《微积分（第二版）》课件第四节二阶常系数线性微分方程（续）.ppt

《物流企业管理与运作》课件第二章 物流企业管理基础.ppt

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1、,第四节 二阶常系数线性微分方程,一、二阶常系数线性微分方程解的结构二、二阶常系数齐次线性微分方程解法三、二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式为,它所对应的齐次方程为,二阶常系数线性非齐次微分方程的通解结构,定理 设 是方程 的一个特解，是相应的齐次方程的通解，则 为非齐次方程的通解.,三、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法,其中 是常数 为m次多项式,设二阶常系数线性非齐次方程,1.若,即微分方程为,考虑到方程右端为指数函数与多项式积的形式，不妨设其特解为,对 求导数 得,整理，得,(1)若 不是特征方程的根，即.,由 式可知 应为m 次多项式，可设方程特

2、解为,确定待定系数 得多项式 相应可得方程的特解.,(2)设 是特征方程的单根，则,且,由 式可知 应为m+1次多项式,设方程特解为,由 式可知 应为m+2次多项式,设方程特解为,待定系数 的确定：,方法1：将 代入 式，比较等式两端多项式同次幂的系数,得到含有未知系数 的(m+1)个方程，解方程组确定未知系数.,对于微分方程,方程的特解可设为,例 求方程,解,求导得,例,解,故得对应齐次方程的通解为,解得,因 是特征方程的重根,取 k=2.,设特解为,将 代入 式，即,得,例,解,(1)先求所给方程对应的齐次方程的通解Y.,(2)再求所给方程的一个特解y*.,设所求特解为,（3）确定满足初始条件的特解.,二阶常系数线性非齐次微分方程为,此时方程的特解形式,其中a，b为待定系数，k 的取法如下：,二阶常系数线性非齐次微分方程为,此时方程的特解形式,其中a，b为待定系数，k 的取法如下：,特殊地，,方程为,此时方程的特解形式,其中 为待定多项式.,一般地，,例,解,原方程的一个特解为,例,解,解得,例,解,(1)先求所给方程对应的齐次方程的通解Y.,(2)再求所给方程的一个特解y*.,有,例,解,由前例可知,方程,方程,的特解为,的特解为,