《微积分（第二版）》课件第七节函数的连续性.ppt

《微积分（第二版）》课件第三节函数的单调性与极值.ppt

一,函数的单调性判别二,函数的极值,第三节函数的单调性与极值,第三节函数的单调性与极值,问题导言,函数的单调性是函数的最基本特性,在作函数的图形时,必须要掌握函数的单调性,如何判别函数的单调性,导数给出了判别函数单调性的简单方法,函数的极值,

《《微积分（第二版）》课件第七节函数的连续性.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《微积分（第二版）》课件第七节函数的连续性.ppt（32页珍藏版）》请在上搜索。

1、,第七节 函数的连续性,一、连续与间断的直观描述二、函数连续与间断概念三、连续函数的运算四、闭区间上连续函数性质,问题导言 连续与间断,第四节 函数的连续性,自然界中有许多现象，如气温的变化、河水的流动、植物的生长等都是随时间连续地变化的.这种现象在反映在函数关系上就是函数的连续性.,连续性描述了自然界的渐变现象.除了渐变现象，自然界还存在突变现象，突变现象则反映的是函数的间断特征.,连续与间断问题举例,在此，从函数连续与间断的矛盾关系出发，展开对函数连续与间断特征的研究.,放射性元素铀的衰变的数学模型,火箭飞行中的质量变化函数图形,一、连续与间断举例与描述,连续与间断点特征分析,定义 设函数

2、y=f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，如果当自变量的增量 趋向于零时，相应的函数增量 也趋于零，即 则称函数y=f(x)在点x0处连续.,定义,1.连续函数的概念,二、连续与间断概念,函数连续性的判别,函数f(x)在点 x0 处连续的几何意义是：f(x)的图形在点(x0,f(x0)处是联结在一起的，没有断隙.函数f(x)在区间 I 上连续，其图形是一条连接不断的曲线.,函数的单侧连续,定理 函数 f(x)在点x0处连续的充分必要条件是 f(x)在点 x0 处既左连续又右连续.即,函数的单侧连续主要用于分段函数分断点及区间端点处函数连续特征的讨论.,若函数 f(x)在开区间(a,b)内的每一

3、点都连续,则称函数 f(x)在开区间(a,b)内连续,且称它是开区间(a,b)上的连续函数.若函数 f(x)在(a,b)内连续,并且在左端点 a 处右连续，右端点 b处左连续，则称函数 f(x)在闭区间 a,b上连续.且称它是闭区间a,b上的连续函数.,区间上的连续函数,结论 基本初等函数在其定义域内为连续函数.,例,解,因此 f(x)在x=0 点连续.,例 设函数，问当a为何值时，在 处连续？,解 函数在 处有定义，且,因为,要使 在 处连续，应满足,即当 时，在 处连续.,2、函数的间断点,定义,但是极限 不存在，所以x=0是函数 f(x)的间断点.,例,例 函数 在 x=1 处无定义，因

4、此 x=1是该函数的间断点.,间断点分类,各类间断点图形特征,解,即x=0是函数 f(x)的可去间断点.,故 x=0 是函数 f(x)的跳跃间断点.,解,故 x=0 是函数 f(x)的无穷间断点.,解,三、连续函数运算与初等函数的连续性,定理（连续函数的四则运算）,定理（复合函数连续性）设函数y=f(u)在点u0处连续,函数 在 x0 处连续,且,则复合函数 在点 x=x0处连续.且,1.连续函数的运算,此定理表明：在求复合函数 的极限时，函数符号与极限符号可以交换顺序.,定理 设函数y=f(u)在点u0处连续，函数 当 时极限存在，且 则复合函数 当 时的极限也存在，且,或,对于复合函数的极

5、限有下述定理,它表明在定理的条件下，如果作变量代换 则求极限 就变成求极限 这就为变量代换求极限方法提供了理论依据.,定理中把极限过程 换成极限过程 仍然成立.,定理的结论还可以换成,例,解,且其值域包含在 的定义域之中，,所以，函数 在-1，1上连续.,例,所以,例,解,例,解,一般地，若，则幂指函数 的极限存在，且,2.基本初等函数的连续性,由基本初等函数图像可知：结论：基本初等函数在其定义域内连续,例 证明：正弦函数 在 内连续.,证对于任意的 和增量，有,由于,故,利用无穷小的性质，有,结论可由连续函数的定义与运算法则进行证明,由基本初等函数的连续性及连续函数的四则运算、复合运算可得初

6、等函数的连续性 定理一切初等函数在其有定义的区间内都是连续的 由此结论可以方便的讨论初等函数的连续性和确定初等函数的极限.（1）求初等函数的连续区间就是求函数的定义区间（2）若 为初等函数定义区间内的点，则初等函数在点 的极限就等于该点的函数值.（为定义区间内点）,3.初等函数的连续性,解 由于被求极限的函数是初等函数，x=1是其定义区间内的一点，所以,例,四、闭区间上连续函数的性质,最值定理 若函数 f(x)在闭区间a,b上连续,则 f(x)在a,b上必取得最大值和最小值.,介值定理的几何解释,x,y,a,y=f(x),b,o,f(a),f(b),定理 如果函数 f(x)在闭区间 a,b 连续 且常数 介于f(a)与f(b)之间,则存在 使得等式 成立.,推论 闭区间上的连续函数，必能取得它的最大值与最小值之间的一切值.,推论(零点定理)若 f(x)在闭区间a,b 上连续,且 f(a)与 f(b)异号,则存在,使得,证 因为函数 是初等函数，,例,由零点定理知，至少存在一点 使,所以，在闭区间0,1 上连续.且 f(0)=10，f(1)=2 0,