《微积分（第二版）》课件第三节无穷小与无穷大.ppt

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1、,第三节 无穷小与无穷大,一、无穷小量二、无穷大量三、无穷小与无穷大的关系,一、无穷小量,第三节 无穷小与无穷大,注意无穷小量是在某一过程中,以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数.0是可以作为无穷小量的唯一的一个数.,定义 若 则称 是极限过程 下的无穷小量，简称无穷小.,1.无穷小量的定义,1.要指明自变量的变化过程(如)；,说明:在确定一个量是否为无穷小量应注意,2.在这个过程中,函数 f(x)以0为极限.,例,例,2.极限与无穷小量的关系,证(必要性),定理,例 当 时，将函数 写成其极限值与一个无穷小量之和的形式,解,所以，为所求极限值与一个无穷小量之和的形式,无穷小与微积分 无穷小

2、量在建立微积分时具有基础性的地位，早期的微积分常称为无穷小分析.在17世纪下半叶微积分创立以后，微积分在解决过去无法解决的许多实际问题中显示了巨大的威力，但由于当时还没有建立起严密的极限理论，在实际应用中常常将无穷小时而变成0，时而又说不是0，显得很“神秘”，难以捉摸，甚至微积分的主要创立者牛顿，也难以摆脱由无穷小引起的概念上的混乱，因此，微积分的“神秘性”受到了唯心主义哲学家们的猛烈攻击，嘲笑无穷小是“逝去的鬼魂”.引起了数学史上著名的“第二次数学危机”.为了微积分的健康发展，也为了摆脱这种危机，以及克服由于没有严格的极限理论而导致的一些混乱，许多数学家在为微积分建立严密的理论基础方面做出了

3、许多工作.,性质1 有限个无穷小的代数和仍为无穷小.,性质2 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.,推论 常量与无穷小之积为无穷小.,性质3 有限个无穷小之积为无穷小.,3.无穷小的性质,注意:无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小量.,注意：两个无穷小之商未必是无穷小.,解,例,定义 设函数f(x)在 的某去心邻域 内有定义.若当 时,无限增大,则称 f(x)当 时 为无穷大量，简称无穷大，并且记为,二、无穷大,若当 时,(或)无限增大,则称 f(x)当 时为正无穷大(或负无穷大),记为,无穷大的几点说明：1.函数 f(x)当 时为无穷大,则极限 是不存在的.简记为,2.无穷大量是一个绝对值可无限增大的变量,不是绝对值很大很大的固定数.,类似地可以给出x的其他趋向下的无穷大量定义.,无穷大的图形特征,例,三、无穷小与无穷大的关系,定理,即无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同一趋向下,无穷大的倒数是无穷小,无穷小(不等于0)的倒数是无穷大.需要指出的是无穷大与无穷小不同的是：在自变量的同一变化过程中，两个无穷大的和、差与商是没有确定结果的，需具体问题具体考虑.,