《微积分（第二版）》课件第一节定积分的概念与性质.ppt

《微积分（第二版）》课件第一节数列的极限（描述定义）.ppt

1,线性代数,高等学校经济管理学科数学基础,微积分,高等学校经济管理学科数学基础,中国人民大学出版社,第一节数列的极限,一,数列的概念二,数列的极限三,数列极限存在准则,问题导言极限思想方法的历史渊源,第一节数列的极限,自然界中有很多量仅仅,

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1、线性代数,高等学校经济管理学科数学基础,微积分,高等学校经济管理学科数学基础,中国人民大学出版社,一、两个典型实例二、定积分的概念三、定积分的几何意义四、定积分的性质,第一节 定积分概念与性质,第一节 定积分概念与性质,导言：定积分的历史源远流长，部分内容可以追溯到古代的面积、体积和弧长等量的计算上.古希腊数学家阿基米德的穷竭法，中国古代数学刘徽的割圆术都渗透着积分思想方法.十七世纪牛顿、莱布尼茨等数学家对积分问题进行了完善形成了近代的定积分概念.,1.面积问题,平面图形的面积问题是最古老的数学问题，人类对于平面图形面积的确定经历了从直边形到曲边形的发展过程.,平面曲边图形面积解决的最典型的古

2、老方法是古希腊数学家阿基米德提出的穷竭法.,一、两个典型实例,阿基米德的穷竭法,思想方法：,问题:曲边三角形面积（如图）,1.划分:分割整体为局部；,2.近似:局部近似，以直代曲；,3.积累:局部积累，整体近似；,4.逼近:极限逼近，实现近似与精确的转化.,辩证思想,曲边梯形的面积,曲边梯形 设函数 f(x)在区间a,b上非负且连续,由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形.,一般图形可以化为曲边梯形,问题 求由x=a,x=b,y=0 与y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.,曲边梯形面积的求解方法,整体分割将曲边梯形分割成部分小曲边梯形；局部近似小曲边梯形面积由小矩形

3、面积代替；求和积累曲边梯形面积由小矩形面积和近似；无限逼近由极限实现近似于精确的转化.,曲边梯形面积的求解过程,(1)分割（分割整体曲边梯形为部分小的曲边梯形）,过每个分点xi作 y 轴的平行线,将曲边梯形分割成n个小曲边梯形.,小区间 长度记为,把区间a,b分成n个小区间,取分点,(2)近似(以小矩形面积近似代替小曲边梯形面积),x,y,o,(3)求和(小曲边梯形面积求和),将小矩形面积求和，可得曲边梯形的近似值,(4)取极限（取极限实现由近似转化为精确）,2.变速直线运动的路程,解(1)分割（分割时间区间）,问题：,(2)近似（用匀速运动近似代替变速运动）,(3)求和（将小区间移动路程求和

4、）,(4)取极限（取极限实现由近似转化为精确）,两类问题的比较概括,二、定积分的概念,定义,其中f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，a为积分下限，b为积分上限，a,b为积分区间.,如果函数f(x)在区间a,b上的定积分存在，则称函数f(x)在区间a,b上可积.,(1)定积分是积分和式的极限，是一个数值.定积分值与区间分法和取点无关，只与被积函数 f(x)及积分区间a,b有关.,(2)定积分与积分变量的记法无关.即有,(3)规定,定积分概念的说明,三、定积分的几何意义,如果,则 几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及 x 轴所围成的曲边梯形的面积.,

5、如果,则 在几何上表示曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及 x 轴所围成的曲边梯形面积相反数.,如果在a,b上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分 在几何上表示介于曲线 y=f(x),直线x=a,x=b及 x 轴之间的各部分面积的代数和.,定积分的存在定理,定理,定理,例 利用定积分的几何意义求定积分,性质1,设函数 f(x),g(x)在a,b上可积.,性质2,性质3,性质4,四、定积分的性质,性质(估值定理),证明,性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,则在积分区间a,b上至少存在一个点,使得,证明 设f(x)在a,b上最大值为M、最小值为m,则有,函数的均值：如果函数f(x)在闭区间a,b上连续,则 为函数f(x)在a,b上的平均值.,例 估计定积分 的值,解 先求 在-1,1上的最大值和最小值,比较在驻点及区间端点处的函数值,因为 令，得驻点,故最大值，最小值,由估值性质得,