中考数学热点考点解题技巧将军饮马模型与最值问题.docx

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1、将军饮马模型与最值问题【模型引入】什么是将军饮马？ “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀古从军行里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。【模型描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？【模型抽象】如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段【模型解析】作点A关于直线的对称点A，连接PA，则PA=PA，所以P。

2、A+PB=PA+PB当A、P、B三点共线的时候，PA+PB=AB，此时为最小值（两点之间线段最短）【模型展示】【模型】一、两定一动之点点在OA、OB上分别取点M、N，使得PMN周长最小此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为PM+MN+NP，当P、M、N、P共线时，PMN周长最小【精典例题】如图，点P是AOB内任意一点，AOB=30，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则PMN周长的最小值为_【分析】PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P、P，化PM。

中考数学热点考点解题技巧辅助圆.docx

辅助圆例题精讲 例1 如图，的圆心的坐标为，半径为1，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是ABCD解答解：过点作直线，交圆于点，此时的值最小，连接，作于，于，四边形是正方形，设，则，解得，的半径为1，故选：变式训练1 如,

3、+PN+MN为PN+MN+PM当P、N、M、P共线时，得PMN周长的最小值，即线段PP长，连接OP、OP，可得OPP为等边三角形，所以PP=OP=OP=8【模型】二、两定两动之点点在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为PM+MN+NQ，当P、M、N、Q共线时，四边形PMNQ的周长最小。【模型】三、一定两动之点线在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P，将折线段PM+MN转化为PM+MN，即过点P作OB垂线分。

4、别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）题型一 将军饮马中两定一动模型与最值问题【专题说明】这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转化为两点之间线段最短问题。1、如图，在中，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ）ABCD【答案】B【详解】在中，AD是的中线，可得点B和点D关于直线AD对称，连结CE，交AD于点P，此时最小，为EC的长，故选B.2、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE2，AB8，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值_【答案】10【详解】解：如图：连接DE交AC。

5、于点P，此时PDPB，PB+PEPD+PEDE为其最小值，四边形ABCD为正方形，且BE2，AB8， DAB90，ADAB8，AEAB-BE6， 在RtADE中，根据勾股定理，得DE 10PB+PE的最小值为10故答案为103、如图，在平面直角坐标系中，矩形的边交轴于点，轴，反比例函数的图象经过点，点的坐标为，（1）求反比例函数的解析式；（2）点为轴上一动点，当的值最小时，求出点的坐标【答案】（1）；（2）【详解】解：（1）是矩形，又轴，即把点 代入的得，反比例函数的解析式为：答：反比例函数的解析式为：（2）过点作垂足为，则点关于轴的对称点，直线与轴的交点就是所求点，此时最小，设直线AB1的关。

6、系式为，将 ,，代入得， 解得：，直线的关系式为，当时，点答：点的坐标为4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）抛物线解析式为y=x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（，）或（，），【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x3），即y=ax22ax3a，2a=2，解得a=1，抛物线解析式为y=x2+2x+3；当x=0时，y=x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（1，0），C（0，3）代入得，解得，直线AC的解析式为y=3x+3；（2）y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B，连接DB。