江苏省扬州中学2019-2020高二数学6月月考试题（Word版带答案）
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2020届扬州中学6月月考数学卷
第Ⅰ卷（必做题，共160分） 2020.6
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．集合 ，若 ，则 ▲ ．
2．已知复数 ，其中 是虚数单位，则 ▲.
3．袋中共有大小相同的4只小球，编号为1，2，3，4．现从中任取2只小球，则取出的2只球的编号之和是奇数的概率为 ▲ ．
4． 根据如图所示的伪代码，当输出y的值为 时，则输入的 的值为 ▲ ．
5．某地区连续5天的最低气温（单位：°C）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为 ▲ ．
6．设x，y满足约束条件 则z=2x+3y的最大值为 ▲ ．
7．在平面直角坐标系xOy中，将函数 的图象向右平移 个单位得到 的图象，则 的值为 ▲ ．
8. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线x216－y29＝1的顶点到其渐近线的距离为 ▲ ．
9．在等比数列 中，若 ， ，则 ▲ ．
10．各棱长都为 的正四棱锥与正四棱柱的体积之比为 ，则 的 值为 ▲ ．
11．如图，已知点 是曲线 上
一个动点， 则 的最小值是 ▲ ．
12．已知函数 ，若 在R上有两个不同的零点，则 的取值范围是 ▲ ．
13．已知正数a，b满足 ，则 的最小值等于 ▲ ．
14. 已知函数 是定义域为 上的偶函数，当 时， 若关于 的方程 有且仅有8个不同实数根，则实数 的取值范围是▲ .
[二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，过 的平面
分别与 ， 交于点 ， ．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求证： ∥ ．
16．（本小题满分14分）
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， .
（1）求 及 的值；
（2）若 ，求 的面积.
17.（本小题满分14分）
如图是一“T”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4 m，东西向渠宽 m（从拐角处，即图中 处开始）．假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）．
（1）在水平面内，过点 的一条直线与水渠的内壁交于 两点，且与水渠的一边的夹角为 ，将线段 的长度 表示为 的函数；
（2）若从南面漂来一根长为7 m的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由．
18．（本小题满分16分）
如图，已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，下顶点为 ，点 是椭圆上任一点，圆 是以 为直径的圆．
⑴ 圆 的面积为 ，求点 的坐标；
⑵当圆 与直线 相切时，求圆 的方程；
19．（本小题满分16分）
在数列 中， ，其中 ．
⑴ 证明：数列 为等差数列，并求出 通项公式；
⑵ 设 ，数列 的前 项和为 ，求 ；
⑶ 已知当 且 时， ，其中 ，求满足等式 的所有 的值之和．
20．（本小题满分16分）
设函数 ， ，
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 （其中 ），证明： ；
（3）是否存在实数a，使得 在区间 内恒成立，且关于x的方程 在 内有唯一解？请说明理由.
数学Ⅱ(附加题)
21． （本小题满分10分）
设点 在矩阵 对应变换作用下得到点 ．
（1）求矩阵 的逆矩阵 ；
（2）若曲线C在矩阵 对应变换作用下得到曲线 ，求曲线C的
方程．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）设 为 上的点， ，垂足为 ，若 的最小值为 ，求 的值.
23．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1 AB AC 2，AB⊥AC，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上．
（1）若P是线段A1B的中点，求直线MP与直线AC所成角的大小；
（2）若 是 的中点，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
求线段BP的长度．
24．（本小题满分10分）
设二项展开式 的整数部分为 ，小数部分为 .
（1）计算 的值；
（2）求 .
数学答案Ⅰ
一、填空题：
1． 0． 2． ． 3． 4． 5．
6．11 7． 8． 9. 4 10．
11． ． 12. 13． 14.
二、解答题：
15．证：（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
因为底面 是矩形，所以 ．
因为 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）底面 是矩形，所以 ∥ ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ．
因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ∥ ．
16. 解：（1）∵ ，∴ .
∵ ，∴ .
由题意可知， .
∴ .∵ .
∴ .
（2）∵ ， ，∴ ，∴ .
∴ .
17．（1）由题意， ， ，
所以 ，即 （ ）．
（2）设 ， ．
由 ，
令 ，得 ．
且当 ， ；当 ， ，
所以，
江苏省徐州市2020届高三数学考前模拟检测试题（Word版附答案）
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在 上单调递减；在 上单调递增，
所以，当 时， 取得极小值，即为最小值．
当 时， ， ，
所以 的最小值为 ，
即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为 m．
因为 ，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．
18．解 ⑴易得 ， ， ，设 ，
则 ，
∴ ，
又圆 的面积为 ，∴ ，解得 ， ∴ 或 ，
⑵∵直线 的方程为 ，且 到直线 的距离为 ， 化简得 ，联立方程组 ，解得 或 ． 当 时，可得 ，
∴ 圆 的方程为 ；当 时，可得 ，
∴ 圆 的方程为 ；
19．⑴证明：
∴数列 为等差数列 ，又
⑵因为 ＝ ，
所以 ＝ ． ①
＝ ． ②
①－②，得 ＝ － ．
故 ＝ － ＝8－ － ＝8－ ．
⑶由⑵得等式
可化为
即
∴
∵当 时， ，
∴ …
∴
∴当 时，
当 时，经验算 时等号成立
∴满足等式 的所有
其和为5.
20．解（1）由已知得：
当 时， ， 在 上递增；
当 时，令 得
当 时， ， 递增；
当 时， ， 递减；
综上： 当 时， 的递增区间为 ；
当 时， 的递增区间为 ，
的递减区间为 .
（2）
在 递增， 递减，且
又 当 时， ；当 时，
，
要证： 成立，只需证：
在 递增，故只需证：
即证：
令 ，只需证： ，即证：
令 ， ， .证毕
（3）令
，且需 在区间 内恒成立
，可得
事实上，当 时， ，下证：
法一： ，
令 ，则 在 单调递减，
由于 ， ，
存在 使 在 单调递增， 单调递减，且 .
，
在 递减， 递增， ，
在区间 内恒成立，
当 时， 在区间 内恒成立，且 在 内有唯一解 ，证毕.
法二：
令 ，则 ，所以 递减， 递增
，即 ，
在 递减， 递增，
在区间 内恒成立
当 时， 在区间 内恒成立，且 在 内有唯一解 ，证毕.
数学Ⅱ（附加题）
21． （1） ， ，所以 ．
（2）设曲线 上任意一点 在矩阵 对应变换作用下得到点 ，
则 ，所以 ．
又点 在曲线 上，所以 ，即 ．
所以曲线 的方程为 ．
22．（1）因为 的极坐标方程为 ，即 ，则 ，化简得 ，所以 的直角坐标方程为 .
参数方程消去参数 ，得 的普通方程为 .
（2）设 ，由点到直线的距离公式得 ，
由题意知 ，
当 时， ，得 ，
当 时， ，得 ，
所以 或 .
23．以 为正交基建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ．
（1）若P是线段A1B的中点，
则 ， ， ．
所以 ．
又 ，所以 ．
所以直线MP与直线AC所成的角的大小为 ．
（2）由 ，得 ．
设 ， ， ，
则 ，
所以 ，所以 ，所以 ．
设平面 的法向量 ，
则 ， ，
所以 取 ．
因为 ，设直线 与平面 所成角为 ．
由 ，得 ．
所以 ，所以 ．
24．
江苏省南通市2020届高三数学考前练习试题（含附加题Word版附答案）
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