4.2比较线段的长短北师大版数学七年级上册 如何比较两个人的身高？我身高1.53米，比你高3厘米.我身高1.5米.导入新知 看下面这三幅图片谁高谁矮？你是依据什么判断的？导入新知 1.了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段最短”的线段性质，并学会运用.2.会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短.3.理解线段中点、等分点的意义，能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.素养目标 AFEDBC如图：从A地到C地有四条道路，哪条路最近？在图上标出.线段的性质知识点1探究新知想一想 AFEDBC经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短.连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.你能举出这条性质在生活中的应用吗？这一事实可以简述：两点之间，线段最短.探究新知 两点之间线段最短.如图，这是A，B两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使A，B两地行程最短，应如何设计线路？请在图中画出，并说明理由..BA.探究新知议一议 把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度有什么变化？ABA，B两地间的河道长度变短.探究新知想一想 如图，AB+BCAC，AC+BCAB，AB+ACBC(填“＞”“＜”或“＝”).其中蕴含的数学道理是________________________.＞两点之间线段最短.＞＞ABC巩固练习 在一条笔直的公路两侧，分别有A，B两个村庄，如图，现在要在公路l上建一个汽车站C，使汽车站到A，B两村庄的距离之和最小，请在图中画出汽车站的位置.CABl巩固练习 比较下图哪棵树高？哪支铅笔长？窗框相邻的两条边哪条边长？你是怎么比较的？探究新知知识点2线段的比较如何比较两条线段的长短呢？思考 猜想交流观察这三组图形，你能比较出每组图形中线段a和b的长短吗？三组图形中，线段a与b的长度均相等很多时候，眼见未必为实.准确比较线段的长短还需要更加严谨的办法.(1)(2)(3)abaabb探究新知 合作探究做手工时，在没有刻度尺的条件下，若想从较长的木棍上截下一段，使截下的木棒等于另一根短木棒的长，我们常采用以上办法.探究新知 画在黑板上的线段是无法移动的，在只有圆规和无刻度的直尺的情况下，请大家想想办法，如何再画一条与它相等的线段？思考小提示：在可打开角度的最大范围内，圆规可截取任意长度，相当于可以移动的“小木棍”.探究新知 你们平时是如何比较两个同学的身高的？你能从比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗？讨论160cm170cm探究新知 比较两个同学高矮的方法：——叠合法.②让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观看两人的头顶，直接比出高矮.①用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的数值进行比较.——度量法.探究新知 DCB试比较线段AB，CD的长短.(1)度量法；(2)叠合法将其中一条线段“移”到另一条线段上，使其一端点与另一线段的一端点重合，然后观察两条线段另外两个端点的位置作比较.(A)CDAB探究新知 CD1.若点A与点C重合，点B落在C，D之间，那么ABCD.(A)B＜叠合法结论：CDABB(A)2.若点A与点C重合，点B与点D，那么AB=CD.3.若点A与点C重合，点B落在CD的延长线上，那么ABCD.重合＞BABACD(A)(B)探究新知 1.为了比较线段AB与CD的大小，小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，结果点B在CD的延长线上，则()A．AB＜CDB．AB＞CDC．AB＝CDD．以上都不对02.如图所示，AB＝CD，则AC与BD的大小关系是()A．AC＞BDB．AC＜BDC．AC＝BDD．无法确定BCABCD巩固练习 已知线段AB,用尺规作一条线段等于已知线段AB.AB①先作一条射线A’C’；A’C’②用圆规量取已知线段AB的长度；③在射线上截取A’B’=AB,线段A’B’就是所求的线段.探究新知作一条线段等于已知线段(尺规作图法)知识点3例 在直线上画出线段AB=a，再在AB的延长线上画线段BC=b，线段AC就是与的和，记作AC=.如果在AB上画线段BD=b，那么线段AD就是与的差，记作AD=.ABCDa+ba-babb画一画aba+baba-b探究新知 1.如图，点B，C在线段AD上则AB＋BC＝____；AD－CD＝___；BC＝___－__＝___－___.ABCDACACACABBDCD2.如图，已知线段a，b，画一条线段AB，使AB＝2a－b.abAB2a－b2ab巩固练习 在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？ABM探究新知知识点4线段的中点 ABM如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点.类似地，还有线段的三等分点、四等分点等.线段的三等分点线段的四等分点探究新知 AaaMBM是线段AB的中点几何语言：因为M是线段AB的中点，所以AM＝MB＝AB.(或AB＝2AM＝2MB)反之也成立：因为AM＝MB＝AB(或AB＝2AM＝2MB)，所以M是线段AB的中点.探究新知 点M,N是线段AB的三等分点：AM＝MN＝NB＝___AB(或AB＝___AM＝___MN＝___NB)333NMBA探究新知 例1若AB＝6cm，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，求：线段AD的长是多少?解：因为C是线段AB的中点，因为D是线段CB的中点，所以AC＝CB＝AB＝×6＝3(cm).所以CD＝CB＝×3＝1.5(cm).所以AD＝AC＋CD＝3＋1.5＝4.5(cm).ACBD利用中点求线段的长度探究新知素养考点1 2.如图，下列说法，不能判断点C是线段AB的中点的是()A.AC＝CBB.AB＝2ACC.AC＋CB＝ABD.CB＝ABCBA1.如图，点C是线段AB的中点，若AB＝8cm，则AC＝cm.4CACB变式训练巩固练习 3.如图，线段AB＝4cm，BC＝6cm，若点D为线段AB的中点，点E为线段BC的中点，求线段DE的长.ADBEC变式训练巩固练习 ADBEC答：DE的长为5cm.解：因为D是线段AB的中点，因为E是线段BC的中点，所以AD＝DB＝AB＝×4＝2(cm).所以BE＝BC＝×6＝3(cm).所以DE＝DB＋BE＝2＋3＝5(cm).变式训练巩固练习 例2如图，B，C是线段AD上两点，
2021北师大版七上数学5.3应用一元一次方程–水箱变高了课件
5.3应用一元一次方程——水箱变高了北师大版数学七年级上册hr阿基米德与皇冠的故事：阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？形状改变，体积不变.=导入新知1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系
且AB：BC：CD＝3：2：5，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝24，求线段AB，BC，CD的长．FECBDA解析：根据已知条件AB：BC：CD＝3：2：5，不妨设AB＝3x,BC＝2x,CD＝5x,然后运用线段的和差倍分，用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个关于x的一元一次方程，解方程，得到x的值，即可得到所求各线段的长.利用比例或倍分关系求线段的长度探究新知素养考点2 FECBDA解：设AB＝3x，BC＝2x，CD＝5x，因为E，F分别是AB，CD的中点，因为EF＝24，所以6x＝24,解得x＝4.所以AB＝3x＝12，BC＝2x＝8，CD＝5x＝20.探究新知所以BE＝AB＝x，CF＝CD＝x，所以EF＝BE＋BC＋CF＝x＋2x＋x＝6x 求线段的长度时，当题目中涉及到线段长度的比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运用方程思想求解.探究新知方法点拨 如图，已知线段AB和CD的公共部分BD＝AB＝CD，线段AB、CD的中点E、F之间距离是10cm，求AB，CD的长．FEBDCA解析：根据已知条件，不妨设BD＝xcm，则AB＝3xcm,CD＝4xcm,易得AC＝6xcm.在由线段中点的定义及线段的和差关系，用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个一元一次方程，求解即可.变式训练巩固练习 解：设BD＝xcm,则AB＝3xcm，CD＝4xcm，AC＝6xcm，因为E，F分别是AB，CD的中点，所以AB＝3xcm＝12cm，CD＝4xcm＝16cm.FEBDCA因为EF＝10，所以x＝10,解得x＝4.所以AE＝AB＝xcm，CF＝CD＝2xcm，所以EF＝AC－AE－CF＝6x－x－2x＝x（cm）.巩固练习 例3A，B，C三点在同一直线上，线段AB＝5cm，BC＝4cm，那么A，C两点的距离是（ ）A．1cmB．9cmC．1cm或9cmD．以上答案都不对解析：分以下两种情况进行讨论：①当点C在AB之间上，故AC＝AB－BC＝1cm；②当点C在AB的延长线上时，AC＝AB＋BC＝9cm．C方法总结：无图时求线段的长，应注意分类讨论，一般分以下两种情况：①点在某一线段上；②点在该线段的延长线.需要分类讨论的问题探究新知素养考点3 已知A，B，C三点共线，线段AB＝25cm，BC＝16cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长为（ ）A．21cm或4cmB．20.5cmC．4.5cmD．20.5cm或4.5cmD变式训练巩固练习 曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光．如图，A、B两地间修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）A．两点之间，线段最短B．平行于同一条直线的两条直线平行C．垂线段最短D．两点确定一条直线A连接中考 1.下列说法正确的是()A.两点间距离的定义是指两点之间的线段B.两点之间的距离是指两点之间的直线C.两点之间的距离是指连接两点之间线段的长度D.两点之间的距离是两点之间的直线的长度2.如图，AC＝DB，则图中另外两条相等的线段为_____________.CACDBAD＝BC基础巩固题课堂检测 3.已知线段AB＝6cm，延长AB到C，使BC＝2AB，若D为AB的中点，则线段DC的长为________.CADB15cm4.点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别是-3，1，若BC＝5，则AC＝_________．9或1基础巩固题课堂检测 如图：AB＝4cm，BC＝3cm，如果点O是线段AC的中点．求线段OB的长度．ABCO解：因为AC＝AB＋BC＝4＋3＝7(cm)，点O为线段AC的中点，所以OC＝AC＝×7＝3.5(cm)，所以OB＝OC－BC＝3.5－3＝0.5(cm)．能力提升题课堂检测 已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM＝6，求CM和AD的长．DACBMAD＝10x＝20．解：设AB＝2x，BC＝5x，CD＝3x,所以AD＝AB＋BC＋CD＝10x.因为M是AD的中点，所以AM＝MD＝5x，所以BM＝AM－AB＝3x.因为BM＝6，即3x＝6，所以x＝2.故CM＝MD－CD＝2x＝4，拓广探索题课堂检测 比较线段的长短线段长短的比较线段的性质线段中点的概念度量法叠合法两点之间线段最短尺规作图法把一条线段分成相等的两条线段的点，叫做线段的中点课堂小结 课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
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