中考数学热点考点解题技巧等腰三角形的存在性问题（解析版）.doc

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1、专题 09 等腰三角形的存在性问题一、方法突破【问题描述】如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得ABC是等腰三角形【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB【注意】若有三点共线的情况，则需排除作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求同理可求，下求显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点。

2、A坐标为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：而对于本题的，或许代数法更好用一些【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3），（2）表示线段：，（3）分类讨论：根据，可得：，（4）求解得答案：解得：，故坐标为【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；（3）根据题意要求取AB=AC、AB=BC、AC=BC；（4）列出方程求解问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上。

中考数学热点考点解题技巧21阿氏圆问题（解析版）.doc

专题21 阿氏圆问题一方法突破在前面的胡不归问题中，我们见识了kPAPB最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的阿氏圆问题所谓阿氏圆，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于,

3、；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口二、典例精析例一：如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接（1）求二次函数的表达式；（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由 【分析】（1）；（2）可用铅垂法，当点D坐标为时，ADE面积最大，最大值为14；（3）这个问题只涉及到A、E两点及直线x=-1（对称轴）当AE=AP时，以A为圆心，AE为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点AE=。

4、，又AH=3，故、当EA=EP时，以E点为圆心，EA为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点过点E作EM垂直对称轴于M点，则EM=1，故、当PA=PE时，作AE的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P点设，解得：m=1故综上所述，P点坐标为、【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决例二：如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点，连接，点是第一象限内抛物线上的一个动点，点的横坐标为（1）求此抛物线的表达式；（2）过点作轴，垂足为点，交于点试探究点在运动过程中，是否存在这样的点，使得以，为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请求出此时点的坐标，若不存在，请说明理由；【分析】（1）；（2）当CA=。

5、CQ时，CA=5，CQ=5，考虑到CB与y轴夹角为45，故过点Q作y轴的垂线，垂足记为H，则，故Q点坐标为当AC=AQ时，考虑直线BC解析式为y=-x+4，可设Q点坐标为（m，-m+4），即，解得：m=1或0（舍），故Q点坐标为（1，3）当QA=QC时，作AC的垂直平分线，显然与线段BC无交点，故不存在综上所述，Q点坐标为或（1，3）三、中考真题对决1（2021宿迁）如图，抛物线与轴交于，与轴交于点连接，点在抛物线上运动（1）求抛物线的表达式；（3）如图，若点在第一象限，直线交于点，过点作轴的垂线交于点，当为等腰三角形时，求线段的长解：（1），是抛物线与轴的两个交点，且二次项系数，根据抛物线的。

6、两点式知，（3）设与轴的交点为，则，若，则，即，解得舍去），此时若，过点作轴于点，又，在中，将上式和抛物线解析式联立并解得舍去），此时若，过点作交于点（见上图），即平分，联立抛物线解析式，解得舍去）此时当时，； 当时，； 当时，；2（2021绥化）如图，已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点，连接直线经过点，且与轴交于点（1）求抛物线的解析式；（2）点是抛物线上的一点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标；解：（1）将，代入抛物线得：，解得：，抛物线的解析式为：；（2），点是抛物线上的一点且是以为腰的等腰三角形，此题有两种情形：当时，根据抛物线的对称性得：与重合，方法一：当时（如图，在的垂直平分线上，的垂直平分线交于，交轴于点，与轴交点为，在中，是的中点，设，代入得：，解得：，联立得：，解得：，方法二：如图2，过点作交于点，设，解得：，把代入，综上所述，；3（2021随州）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，。