中考数学热点考点解题技巧21阿氏圆问题（解析版）.doc

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1、专题21 阿氏圆问题一、方法突破在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在ABC中，AD是BAC的角平分线，则证明：，即（2）外角平分线定理：如图，在ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则证明：在BA延长线上取点。

2、E使得AE=AC，连接BD，则ACDAED（SAS），CD=ED且AD平分BDE，则，即接下来开始证明步骤：如图，PA：PB=k，作APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，故M点为定点，即APB的角平分线交AB于定点；作APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，故N点为定点，即APB外角平分线交直线AB于定点；又MPN=90，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆法二：建系不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即：解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线除了证明之外，我们还需了解。

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3、“阿氏圆”的一些性质：（1）应用：根据点A、B的位置及k的值可确定M、N及圆心O（2）OBPOPA，即，变形为应用：根据圆心及半径和A、B其中一点，可求A、B另外一点位置（3）应用：已知半径及A、B中的其中一点，即可知道PA：PB的值练习1：已知A、B求圆轨迹已知在坐标系中，点A（-1，0），点B（3，0），P是平面中一点且PA：PB=3：1，求P点轨迹圆圆心位置【分析】既然已经了解的“阿氏圆”的相关内容，不妨直接用上结论取M（2，0）满足MA：MB=3：1，取N（5，0）满足NA：NB=3：1，P点轨迹即是以MN为直径，MN中点O为圆心的圆练习2：已知圆轨迹反求点A或B已知在坐标系中，点A（。

4、-1，0），P是以点为圆心，长为半径的圆，平面中求一点B使得PA：PB=3：1，求B点坐标 【分析】像这样的问题一般就是“阿氏圆”构图，已知圆与A点，求另外一点B思路1：构造相似三角形考虑，将、代入可得：，故B点坐标为思路2：根据“阿氏圆”中的特殊位置当P点运动到M点位置时，有MA：MB=3：1，考虑到A（-1，0）、M（2，0），可得MB=1，考虑到A、M、B共线且B点在M点右侧，可得B点坐标为（3，0）补充：这里的圆O与点A及PA：PB的比值都是配套存在的，思路2虽有投机取巧之嫌，却是根据“阿氏圆”定义求出的B点，还好用那么这个玩意和最值有什么关系呢？比如可以将练习2稍加修改，即可变成最值。

5、问题：练习2（改）：已知在坐标系中，点A（-1，0），P是以点为圆心，长为半径的圆，Q（2，2），求的最小值 【分析】问题中的PQ暂时不用管，先处理好，考虑到P点轨迹是个圆，且要构造，大胆猜测：平面中存在一点B使得P在圆上任意位置，均满足：，即有其实就是逆用“阿氏圆”，这样的题目一般就是给出圆与A点位置，求另一点B的位置，即可转化点B求法如上练习2，剩下的求最小值就很简单了二、典例精析例一：如图1，在平面直角坐标系中，直线y5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线yx2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接。

6、MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如图2，若P点是半径为2的B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由解：（1）直线y5x+5，x0时，y5C（0，5）y5x+50时，解得：x1A（1，0）抛物线yx2+bx+c经过A，C两点 解得：抛物线解析式为yx26x+5当yx26x+50时，解得：x11，x25B（5，0）（2）如图1，过点M作MHx轴于点HA（1，0），B（5，0），C（0，5）AB514，OC5SABCABOC4510点M为x轴下方抛物线上的点设M（m，m26m+5）（1m5）MH|m26m+5|m2+6m5SABMABMH4（m2+6m5）2m2+12m102（m3）2+8S四边形AMBCSABC+SABM10+2（m3）2+82（m3）2+18当m3，即M（3，4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18（可以直接利用点M是抛物线的顶点时，面积最大求解）（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CDBD541AB4，BP2PBDABPPBDABPPDAPPC+PAPC+PD当点。