伯努利方程及其应用课件.ppt（61页）

铂金斯天然气故障诊断课件.ppt（16页）

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1、第六章 伯努利方程及其应用,在第五章，我们建立了流体力学微分形式的基本方程组，并通过引入了无粘流假设，完全气体假设，建立了理想流体（或理想气体）的动力学基本方程组，这一方程组虽解决了封闭性问题，并使未知数数量及方程的复杂程度得到了很大简化，但由于方程组仍是非线性的，以至于还是无法得到一般形式的解，或精确积分求解的一般方法。在第四章，我们通过对一段流管的能量方程进行分析，在引入五项假设以后已经获得了柏努利方程。实际上，通过对上一章中的欧拉方程进行积分，同样可以得到著名的伯努利方程，不过在积分过程中同样要引入相应的假设和限制条件。柏努利方程的获得对流体力学的发展产生了重要的影响，使得这一方程在以后

2、的一百多年里，直到今天，都是流体力学中应用最广（不论在计算还是在理论分析上）的方程，本章将对其理论和应用进行介绍。,第六章 伯努利方程及其应用 在第五章，我们建立了,第一节 伯努利定理,在流体静力学中，我们曾引入过压力函数的概念，现在在推导伯努利方程之前，我们先对压力函数的性质在作进一步的分析。,一、压力函数分析,在流体静力学中，对于密度仅是压力的函数的正压流体，引入了压力函数：,我们考察流场中的任意一条曲线L，规定线上的某点o为原点，因此曲线L上的任意一点能用该点到o弧长 l 表示,而dl 表示曲线弧的微元长度。显然，在曲线L上，密度和压力是弧长 l 的函数，并且在不同的曲线L上，其函数也是

3、不同的，这样速度和压力就可表示为：,第一节 伯努利定理 在流体静力学中，我们,联立以上两式消去l，即可将表示为p的函数，注意，此时并不要求流场是正压流场。,代入压力函数定义式：,可知L在曲线上，压力函数沿l的变化率为：,一般情况下，曲线L上的函数关系 是未知的，但是当流场是正压流场时，这时仅是p的函数（根据定义），与所取曲线就无关了。所以只要已知，压力函数就可以积分。,联立以上两式消去l，即可将表示为p的函数，注意，此时并不要,常见的正压场有：1、不可压缩流场：2、完全气体等温流场：3、完全气体的绝热等熵流场：,在现实问题中最常见的是第一种和第三种流场。比如对于液体，一般就可以视为不可压缩流场

4、。对于气体，当流速较低时，今后会讨论到，也可以视为不可压缩流场；而当流速较高时，由于其导热系数小，又可以视为绝热流场。,常见的正压场有：在现实问题中最常见的是第一种和第三种流场。比,二、沿流线和涡线成立的伯努利积分,由兰姆方程(引入理想流体假设1)：,假设流动为定常(2)，质量力有势(3)，兰姆方程为：,左边是标量场的梯度，标量梯度在某一方向的投影，等于标量在该方向的方向导数。等式反映了四个向量的平衡关系，他们投影到某一方,向仍然是平衡的。在流场中做任意曲线L，将上式在曲线的微元弧线(切线)上投影，有：,二、沿流线和涡线成立的伯努利积分 由兰姆方程(引入理,注意压力函数的微分关系，代入上式有：

5、,这里曲线函数尚是任意取的，如果将该曲线取为流线或涡线，则曲线上任意点的切线方向与向量 垂直，因而有：（沿流线或涡线假设4）,于是：,积分：,这就是欧拉方程的最一般形式的伯努利积分，他表明：,在理想流体、质量力有势，流动定常的条件下，沿流线或涡线流体的动能、压力能和势能之和是一个常数。,注意压力函数的微分关系，代入上式有：这里,注意上式中的积分常数C(L)与所取的流线或涡线是有关的。不同的流线或涡线会有不同的值，C(L)会构成等值面。这个等值面是由相交的流线或涡线决定的。如果流场是正压流场，则压力函数与所取的曲线无关，上式为：,三、不可压缩流体在重力场中的伯努利积分,1、当质量力为重力时，质量

6、力势为：2、当流体不可压时，压力函数为：3、代入伯努利积分，有：或者：,注意上式中的积分常数C(L)与所取的流线或涡线是有关,这是我们最常见的伯努利方程。总结一下它的应用条件：不可压缩的理想流体，定常流动，质量力仅为重力，沿流线或涡线成立。,四、伯努利积分与所取曲线无关的情况,在正压流场中，如果恒有。则以上伯努利积分与所取曲线无关。或者说在全流场中的积分为同一常数C，等式两边的1点和2点可以不必在同一流线或涡线上。,的情况有三种：1、流体静止，其结果为静力学基本方程，对动力学无意义。2、流动无旋。3、通常不可能，只有在一些理想的特殊流动中存在。,这是我们最常见的伯努利方程。总结一下它的应用条件：不,由此我们知道，无旋流动的伯努利积分，其常数全场相等，也就是说，此时我们应用伯努利方程不必在意1点和2点是不是在同一条流线或涡线上。面对流场是否无旋的判断，上一章我们在讲到弗里德曼方程时有结论：理想流体，在质量力有势，流场正压时，流场如一开始无旋，则永远无旋，这有助于我们做出判断。,五、总结,1、伯努利方程的形式,I、物理意义：单位体积流体的能量守恒。压力能、动能、势能。,II、物理意义：单位