浙江省嘉兴理科高二下期末数学复习试卷（答案）

高二（下）期末数学复习试卷

一、选择题（每题4分）

1．直线2x+2y﹣1=0的倾斜角为（  ）

A．45° B．60° C．135° D．150°

2．已知直线l₁：ax+2y+6=0和直线l₂：x+（a﹣1）y+a²﹣1=0相互垂直，则a的值为（  ）

A．﹣1 B． C．1 D．或1

3．直线l经过点A（1，2），在y轴上的截距的取值范围是（﹣2，3），则其斜率的取值范围是（  ）

A．（﹣1，） B．（﹣1，）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） D．（﹣1，4）

4．若直线3x﹣4y+12=0与两坐标轴交点为A、B，则以AB为直径的圆的方程是（  ）

A．x²+y²+4x﹣3y=0 B．x²+y²﹣4x﹣3y=0

C．x²+y²+4x﹣3y﹣4=0 D．x²+y²﹣4x﹣3y+8=0

5．已知点P（x₀，y₀）和点A（1，2）在直线l：3x+2y﹣8=0的异侧，则（  ）

A．3x₀+2y₀＞0 B．3x₀+2y₀＜0 C．3x₀+2y₀＜8 D．3x₀+2y₀＞8

6．若点A（2，﹣3）是直线a₁x+b₁y+1=0和a₂x+b₂y+1=0的公共点，则相异两点（a₁，b₁）和（a₂，b₂）所确定的直线方程是（  ）

A．2x﹣3y+1=0 B．3x﹣2y+1=0 C．2x﹣3y﹣1=0 D．3x﹣2y﹣1=0

7．设A、B是抛物线y²=2x上异于原点的不同两点，则的最小值为（  ）

A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣4

8．设直线l过双曲线x²﹣y²=1的一个焦点，且与双曲线相交于A、B两点，若以AB为直径的圆与y轴相切，则|AB|的值为（  ）

A．1+ B．1+2 C．2+2 D．2+

9．如图，椭圆x²+2y²=1的右焦点为F，直线l不经过焦点，与椭圆相交于点A，B，与y轴的交点为C，则△BCF与△ACF的面积之比是（  ）

A．|| B．|| C． D．

10．过点P（﹣1，2）的动直线交圆C：x²+y²=3于A，B两点，分别过A，B作圆C的切线，若两切线相交于点Q，则点Q的轨迹为（  ）

A．直线的一部分 B．圆的一部分

C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分

 

二、填空题（每题3分）

11．两平行直线x+2y﹣1=0和x+2y+4=0之间的距离是      ．

12．若直线3x+y+a=0过圆x²+y²+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为      ．

13．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为      ．

14．已知双曲线x²﹣my²=1的一个焦点是（，0），则其渐近线方程为      ．

15．直线mx+（1﹣m）y+2m﹣2=0（m∈R）恒过定点P，则点P的坐标为      ．

16．点P在圆C₁：（x﹣4）²+（y﹣2）²=9，点Q在圆C₂：（x+2）²+（y+1）²=4上，则||的最小值是      ．

17．已知抛物线y=x²的焦点为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到x轴的距离等于      ．

18．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），F₁（﹣c，0）是左焦点，圆x²+y²=c²与双曲线左支的一个交点是P，若直线PF₁与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围是      ．

 

三、解答题

19．已知△ABC的三边AB、BC、AC所在的直线方程分别为3x﹣4y+7=0，2x+3y﹣1=0，5x﹣y﹣11=0

（1）求顶点A的坐标；

（2）求BC边上的高所在直线的方程．

20．平面直角坐标系中有A（0，1），B（2，1），C（3，4），D（﹣1，2）两点

（1）求证：A，B，C，D四点共面；

（2）记（1）中的圆的圆心为M，直线l：2x﹣y﹣2=0与圆M相交于点P、Q，求弦长PQ．

21．如图，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为，点A是椭圆C上任意一点，且△AF₁F₂的周长为2（+1）

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点B在直线l：y=上，且OA⊥OB，点O到直线AB的距离为d（A，B），求证：d（A，B）为定值．

22．如图，已知抛物线y²=4x，过点P（2，0）作斜率分别为k₁，k₂的两条直线，与抛物线相交于点A、B和C、D，且M、N分别是AB、CD的中点

（1）若k₁+k₂=0，，求线段MN的长；

（2）若k₁•k₂=﹣1，求△PMN面积的最小值．

 

 

 

 

 

参考答案与试题解析

一、选择题（每题4分）

1．直线2x+2y﹣1=0的倾斜角为（  ）

A．45° B．60° C．135° D．150°

【考点】直线的倾斜角．

【分析】将直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率与倾斜角的关系求出答案．

【解答】解：由2x+2y﹣1=0得y=﹣x+，

∴直线2x+2y﹣1=0的斜率是﹣1，

则直线2x+2y﹣1=0的倾斜角是135°，

故选C．

 

2．已知直线l₁：ax+2y+6=0和直线l₂：x+（a﹣1）y+a²﹣1=0相互垂直，则a的值为（  ）

A．﹣1 B． C．1 D．或1

【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．

【分析】当a=1时，经检验，两直线不垂直；当a≠1时，由斜率之积等于﹣1可得=﹣1，解得a值．

【解答】解：当a=1时，直线l₁：x+2y+6=0，直线l₂：x+a²﹣1=0，显然两直线不垂直．

当a≠1时，由斜率之积等于﹣1可得=﹣1，

解得a=．

故选B．

 

3．直线l经过点A（1，2），在y轴上的截距的取值范围是（﹣2，3），则其斜率的取值范围是（  ）

A．（﹣1，） B．（﹣1，）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） D．（﹣1，4）

【考点】直线的斜率．

【分析】设直线方程为y﹣2=k（x﹣1），求出直线在y轴上的截距，利用直线l在y轴上的截距的取值范围是（﹣2，3），即可求出斜率的取值范围．

【解答】解：设直线方程为y﹣2=k（x﹣1），

令x=0，可得y=2﹣k

∵直线l在y轴上的截距的取值范围是（﹣2，3），

∴﹣2＜2﹣k＜3，

∴﹣1＜k＜4．

故选：D．

 

4．若直线3x﹣4y+12=0与两坐标轴交点为A、B，则以AB为直径的圆的方程是（  ）

A．x²+y²+4x﹣3y=0 B．x²+y²﹣4x﹣3y=0

C．x²+y²+4x﹣3y﹣4=0 D．x²+y²﹣4x﹣3y+8=0

【考点】圆的标准方程．

【分析】先求出A、B两点坐标，AB为直径的圆的圆心是AB的中点，半径是AB的一半，由此可得到圆的方程．

【解答】解：由x=0得y=3，由y=0得x=﹣4，

∴A（﹣4，0），B（0，3），

∴以AB为直径的圆的圆心是（﹣2，），半径r=，

以AB为直径的圆的方程是，

即x²+y²+4x﹣3y=0．

故选A．

 

5．已知点P（x₀，y₀）和点A（1，2）在直线l：3x+2y﹣8=0的异侧，则（  ）

A．3x₀+2y₀＞0 B．3x₀+2y₀＜0 C．3x₀+2y₀＜8 D．3x₀+2y₀＞8

【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．

【分析】根据点P（x₀，y₀）和点A（1，2）在直线l：3x+2y﹣8=0的异侧结合二元一次不等式（组）与平面区域可知，将两点的坐标代入直线方程式的左式，得到的值符号相反．

【解答】解：将点的坐标代入直线的方程，得：

3x₀+2y₀﹣8；3×1+2×2﹣8，

∵点P（x₀，y₀）和点A（1，2）在直线l：3x+2y﹣8=0的异侧，

∴（3x₀+2y₀﹣8）（3×1+2×2﹣8）＜0，

即：3x₀+2y₀﹣8＞0

故选D．

 

6．若点A（2，﹣3）是直线a₁x+b₁y+1=0和a₂x+b₂y+1=0的公共点，则相异两点（a₁，b₁）和（a₂，b₂）所确定的直线方程是（  ）

A．2x﹣3y+1=0 B．3x﹣2y+1=0 C．2x﹣3y﹣1=0 D．3x﹣2y﹣1=0

【考点】直线的两点式方程；两条直线的交点坐标．

【分析】把点A（2，﹣3）代入线a₁x+b₁y+1=0和a₂x+b₂y+1=0的方程，发现点（a₁，b₁）和（a₂，b₂）都在同一条直线 2x﹣3y+1=0上，

从而得到点（a₁，b₁）和（a₂，b₂）所确定的直线方程．

【解答】解：∵A（2，﹣3）是直线a₁x+b₁y+1=0和a₂x+b₂y+1=0的公共点，

∴2a₁﹣3b₁+1=0，且2a₂﹣3b₂+1=0，

∴两点（a₁，b₁）和（a₂，b₂）都在同一条直线 2x﹣3y+1=0上，

故 点（a₁，b₁）和（a₂，b₂）所确定的直线方程是2x﹣3y+1=0，

答案选 A．

 

7．设A、B是抛物线y²=2x上异于原点的不同两点，则的最小值为（  ）

A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣4

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】设直线AB的方程为x=my+t，代入抛物线方程，消去x，得到y的方程，设A（，y₁），B（，y₂），运用韦达定理和判别式大于0，结合向量的数量积的坐标表示，转化为t的函数，由配方即可得到所求最小值．

【解答】解：设直线AB的方程为x=my+t，

代入抛物线y²=2x，可得

y²﹣2my﹣2t=0，

由题意可得△=4m²+8t＞0，且t≠0，

设A（，y₁），B（，y₂），

则y₁+y₂=2m，y₁y₂=﹣2t，

可得=+y₁y₂=t²﹣2t=（t﹣1）²﹣1，

当t=1时，取得最小值﹣1．

故选：B．

 

8．设直线l过双曲线x²﹣y²=1的一个焦点，且与双曲线相交于A、B两点，若以AB为直径的圆与y轴相切，则|AB|的值为（  ）

A．1+ B．1+2 C．2+2 D．2+

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】利用双曲线的焦半径公式求出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）到F₂的距离，根据以AB为直径的圆与y轴相切，得到x₁+x₂=|AB|=（x₁+x₂）﹣2，代入坐标后整理即可得到线段AB的长．

【解答】解：双曲线方程为x²﹣y²=1，F₂（，0），e=．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由双曲线的焦半径公式得：|AF₂|=ex₁﹣a=x₁﹣1，|BF₂|=ex₂﹣a=x₂﹣1，

∵以AB为直径的圆与y轴相切，∴x₁+x₂=|AB|=（x₁+x₂）﹣2

∴|AB|=x₁+x₂==2+2

故选：C．

 

9．如图，椭圆x²+2y²=1的右焦点为F，直线l不经过焦点，与椭圆相交于点A，B，与y轴的交点为C，则△BCF与△ACF的面积之比是（  ）

A．|| B．|| C． D．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】根据椭圆的性质，求得a、b和c的值及焦点坐标，设出A和B的坐标，将三角形的面积关系转化为，根据椭圆的第二定义求得AF、BF与x₁和x₂的关系，即可求得答案．

【解答】解：椭圆x²+2y²=1，a²=1，b²=，c²=，

焦点F（，0），

令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

==，

椭圆的右准线：x=，

∴=， =，

∴AF=a﹣=1﹣，

BF=a﹣=1﹣，

∴=1﹣AF， =1﹣BF，

===丨丨，

故答案选：A．

 

10．过点P（﹣1，2）的动直线交圆C：x²+y²=3于A，B两点，分别过A，B作圆C的切线，若两切线相交于点Q，则点Q的轨迹为（  ）

A．直线的一部分 B．圆的一部分

C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】根据圆的对称性可得，Q点是经过C点垂直于AB的直线与过A点切线的交点．由此设A（m，n），Q（x，y），根据圆的切线的性质与直线斜率公式，分别求出直线AQ、CQ方程，两个方程消去m、n得关于x、y的一次方程，即为点Q轨迹所在直线方程，再根据图形可得直线与圆C相交而Q不可能在圆上或圆内，可得Q轨迹是直线的一部分．

【解答】解：设A（m，n），Q（x，y），根据圆的对称性可得，Q点是经过C点垂直于AB的直线与A点切线的交点，

∵圆x²+y²=3的圆心为C（0，0）

∴切线AQ的斜率为k₁=﹣=﹣，得AQ方程为y﹣n=﹣（x﹣m），化简得y=﹣x+…①

又∵直线PA的斜率k_PA=，

∴直线CQ的斜率k₂=﹣，

得直线CQ方程为y=x…②

①②联立，消去m、n得x﹣2y+3=0，即为点Q轨迹所在直线方程．

由于直线x﹣2y+3=0与圆C：x²+y²=3相交，

∴直线位于圆上或圆内的点除外．

故选：A．

 

二、填空题（每题3分）

11．两平行直线x+2y﹣1=0和x+2y+4=0之间的距离是  ．

【考点】两条平行直线间的距离．

【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．

【解答】解：两平行直线x+2y﹣1=0和x+2y+4=0之间的距离是d==．

故答案为：．

 

12．若直线3x+y+a=0过圆x²+y²+2x﹣4y=0的圆心，则a的值为 1 ．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】根据所给的圆的一般式方程，求出圆的圆心，根据圆心在直线3x+y+a=0上，把圆心的坐标代入直线的方程，得到关于a的方程，解方程即可．

【解答】解：∵圆x²+y²+2x﹣4y=0的圆心是（﹣1，2）

圆心在直线3x+2y+a=0上，

∴﹣3+2+a=0，

∴a=1

故答案为：1

 

13．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为 5 ．

【考点】简单线性规划．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．

由z=2x+y得y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x+z，

由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，

直线y=﹣2x+z的截距最大，

此时z最大，且B（2，1）

将B（2，1）的坐标代入目标函数z=2x+y，

得z=2×2+1=5．即z=2x+y的最大值为5．

故答案为：5

 

14．已知双曲线x²﹣my²=1的一个焦点是（，0），则其渐近线方程为 y=±2x ．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】求出双曲线的标准方程借助焦点坐标建立方程即可

【解答】解：双曲线的标准方程为x²﹣=1，

∵双曲线x²﹣my²=1的一个焦点是（，0），

∴焦点在x轴上，

则c=，a²=1，b²=＞0，

则1+=c²=5，

即=4，即b²=4，b=2，

则双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x，

故答案为：y=±2x．

 

15．直线mx+（1﹣m）y+2m﹣2=0（m∈R）恒过定点P，则点P的坐标为 （0，2） ．

【考点】恒过定点的直线．

【分析】直线mx+（1﹣m）y+2m﹣2=0可化为y﹣2+m（x﹣y+2）=0，根据x=0，y=2时方程恒成立，可知直线过定点P的坐标．

【解答】解：直线mx+（1﹣m）y+2m﹣2=0可化为y﹣2+m（x﹣y+2）=0，

得，解得x=0，y=2．

∴直线mx+（1﹣m）y+2m﹣2=0（m∈R）恒过定点P（0，2）．

故答案为：（0，2）．

 

16．点P在圆C₁：（x﹣4）²+（y﹣2）²=9，点Q在圆C₂：（x+2）²+（y+1）²=4上，则||的最小值是 3 ．

【考点】圆与圆的位置关系及其判定．

【分析】分别找出两圆的圆心的坐标，以及半径r和R，利用两点间的距离公式求出两圆心间的距离d，根据d大于两半径之和，得到两圆的位置关系是外离，又P在圆C₁上，Q在圆C₂上，由d﹣（R+r）即可求出||的最小值．

【解答】解：∵圆C₁：（x﹣4）²+（y﹣2）²=9的圆心坐标C₁（4，2），半径r=3，

圆C₂：（x+2）²+（y+1）²=4的圆心坐标C₂（﹣2，﹣1），半径R=2，

∵d=|C₁C₂|=＞2+3=R+r，

∴两圆的位置关系是外离，

又P在圆C₁上，Q在圆C₂上，

则||的最小值为d﹣（R+r）=3．

故答案为：3．

 

17．已知抛物线y=x²的焦点为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到x轴的距离等于  ．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】确定抛物线的准线方程，利用抛物线的定义及弦长，可得弦AB的中点到准线的距离，进而可求弦AB的中点到y轴的距离．

【解答】解：由题意，抛物线y=x²的焦点坐标为（0，），准线方程为y=﹣，

根据抛物线的定义，

∵|AB|=4，

∴A、B到准线的距离和为4，

∴弦AB的中点到准线的距离为2

∴弦AB的中点到y轴的距离为2﹣=，

故答案为：．

 

18．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），F₁（﹣c，0）是左焦点，圆x²+y²=c²与双曲线左支的一个交点是P，若直线PF₁与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围是 （，+∞） ．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】设直线PF的方程为y=k（x+c），由直线和圆相交，可得k不为0，求得圆和双曲线的交点P，运用两点的斜率公式，由题意可得k＜，解不等式可得b＞2a，结合离心率公式计算即可得到所求范围．

【解答】解：设直线PF₁的方程为y=k（x+c），即kx﹣y+kc=0，

由直线和圆有交点，可得＜c，

解得k≠0．

联立圆x²+y²=c²与双曲线方程﹣=1，

解得交点P，设为（﹣，）．

可得k=＞0，

由题意可得k＜，

结合a²+b²=c²，

a＜c²﹣ab，

化简可得b＞2a，即有b²＞4a²，

可得c²＞5a²，

即有e=＞．

故答案为：（，+∞）

 

三、解答题

19．已知△ABC的三边AB、BC、AC所在的直线方程分别为3x﹣4y+7=0，2x+3y﹣1=0，5x﹣y﹣11=0

（1）求顶点A的坐标；

（2）求BC边上的高所在直线的方程．

【考点】待定系数法求直线方程．

【分析】（1）把直线方程联立解得交点A的坐标；

（2）设BC边上的高所在直线的方程为3x﹣2y+m=0，代入点A，求出m，即可得出BC边上的高所在直线的方程．

【解答】解：（1）由条件得x=3，y=4，

所以A（3，4）；

（2）设BC边上的高所在直线的方程为3x﹣2y+m=0，

A代入可得9﹣8+m=0，

所以m=﹣1，

所以BC边上的高所在直线的方程为3x﹣2y﹣1=0．

 

20．平面直角坐标系中有A（0，1），B（2，1），C（3，4），D（﹣1，2）两点

（1）求证：A，B，C，D四点共面；

（2）记（1）中的圆的圆心为M，直线l：2x﹣y﹣2=0与圆M相交于点P、Q，求弦长PQ．

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】（1）设出圆的一般式方程，由A，B，C的坐标求出过A，B，C的圆的方程，代入D的坐标成立，说明A，B，C，D四点共圆；

（2）化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再由垂径定理得答案．

【解答】证明：（1）由已知，过点A（0，1），B（2，1），C（3，4）的圆的方程为：

x²+y²+Dx+Ey+F=0，

则，

解得．

∴x²+y²﹣2x﹣6y+5=0，将D（﹣1，2）代入，适合方程，

∴点D在圆x²+y²﹣2x﹣6y+5=0上，即A，B，C，D四点共圆；

解：（2）∵圆M的方程为：（x﹣1）²+（y﹣3）²=5，

∴圆心M（1，3）到直线l：2x﹣y﹣2=0的距离d=，

∴弦长|PQ|=2．

 

21．如图，已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为，点A是椭圆C上任意一点，且△AF₁F₂的周长为2（+1）

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点B在直线l：y=上，且OA⊥OB，点O到直线AB的距离为d（A，B），求证：d（A，B）为定值．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（1）由题意可得： =，a²=b²+c²，2a+2c=2，联立解出即可得出．

（2）设A（x₀，y₀），B，由OA⊥OB，可得=0，x₁=﹣．

分类讨论：①若x₁≠x₀，直线AB的方程为：y﹣=（x﹣x₁），即x+（x₁﹣x₀）y+﹣x₁y₀=0，利用点到直线的距离公式与，可得d（A，B）为定值1．②若x₁=x₀，设直线OA的方程为：y=kx，则B，A，代入椭圆方程解出k即可得出．

【解答】（1）解：由题意可得： =，a²=b²+c²，2a+2c=2，解得a=，c=b=1．

∴椭圆C的标准方程为=1．

（2）证明：设A（x₀，y₀），B，

∵OA⊥OB，∴=0．∴x₁=﹣．

①若x₁≠x₀，k_AB=，直线AB的方程为：y﹣=（x﹣x₁），

即x+（x₁﹣x₀）y+﹣x₁y₀=0，

∴d（A，B）=，

∴[d（A，B）]²==，

∵，

∴[d（A，B）]²===1，

∴d（A，B）=1，为定值．

②若x₁=x₀，设直线OA的方程为：y=kx，则B，A，

代入椭圆方程可得： +=1，解得k=．

∴直线AB的方程为：x=±1，点O到直线AB的距离d（A，B）=1．

综上可得：d（A，B）为定值1．

 

22．如图，已知抛物线y²=4x，过点P（2，0）作斜率分别为k₁，k₂的两条直线，与抛物线相交于点A、B和C、D，且M、N分别是AB、CD的中点

（1）若k₁+k₂=0，，求线段MN的长；

（2）若k₁•k₂=﹣1，求△PMN面积的最小值．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】（1）若k₁+k₂=0，线段AB和CD关于x轴对称，利用，确定坐标之间的关系，即可求线段MN的长；

（2）若k₁•k₂=﹣1，两直线互相垂直，求出M，N的坐标，可得|PM|，|PN|，即可求△PMN面积的最小值．

【解答】解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨设y₁＞0，则

设直线AB的方程为y=k₁（x﹣2），代入y²=4x，可得y²﹣y﹣8=0

∴y₁+y₂=，y₁y₂=﹣8，

∵，∴y₁=﹣2y₂，∴y₁=4，y₂=﹣2，

∴y_M=1，

∵k₁+k₂=0，

∴线段AB和CD关于x轴对称，

∴线段MN的长为2；

（2）∵k₁•k₂=﹣1，∴两直线互相垂直，

设AB：x=my+2，则CD：x=﹣y+2，

x=my+2代入y²=4x，得y²﹣4my﹣8=0，

则y₁+y₂=4m，y₁y₂=﹣8，

∴M（2m²+2，2m）．

同理N（+2，﹣），

∴|PM|=2|m|•，|PN|=•，|

∴S_△PMN=|PM||PN|=（m²+1）=2（|m|+）≥4，

当且仅当m=±1时取等号，

∴△PMN面积的最小值为4．

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