高中数学人教A版选修1-2练习：第3章 数系的扩充与复数的引入3.2.2（答案）

第三章  3.2  3.2.2

A级 基础巩固

一、选择题

1．(2016·重庆八中高二检测)复数z满足zi－1＝i则z的共轭复数为( A )

A．1－i B．1＋i

C．－1＋i D．－1－i

[解析] z＝i(1＋i)＝i2(i(1＋i))＝－1(i－1)＝1－i.

2．(2016·山东滕州市高二检测)已知i为虚数单位，则(1－i(1＋i))²＝( B )

A．1 B．－1

C．i D．－i

[解析] (1－i(1＋i))²＝－2i(2i)＝－1.

3．(2016·湖南衡阳三中检测)已知i为虚数单位．若复数－3i(a＋i)(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝( A )

A．－1 B．－2

C．1 D．2

[解析] －3i(a＋i)＝－3ai＋3，

∴－3a＝3，∴a＝－1.

4．(2015·全国卷Ⅱ文)若a为实数，且1＋i(2＋ai)＝3＋i，则a＝( D )

A．－4 B．－3

C．3 D．4

[解析] ∵1＋i(2＋ai)＝3＋i，

∴2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，

∴a＝4，选D．

5．(2017·北京文，2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( B )

A．(－∞，1) B．(－∞，－1)

C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)

[解析] ∵(1－i)(a＋i)＝a＋i－ai－i²＝a＋1＋(1－a)i，

又∵复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，

∴1－a>0，(a＋1<0>解得a<－1.

故选B．

6．若z＋－(z)＝6，z·－(z)＝10，则z＝( B )

A．1±3i B．3±i

C．3＋i D．3－i

[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则－(z)＝a－bi，

∴a2＋b2＝10(2a＝6)，解得b＝±1(a＝3)，即z＝3±i.

二、填空题

7．(2016·广西南宁高二检测)计算：(1＋i)(1－i)＋(1＋2i)²＝__－1＋4i__.

[解析] (1＋i)(1－i)＋(1＋2i)²

＝1－i²＋1＋4i＋4i²

＝1＋1＋1＋4i－4

＝－1＋4i.

8．复数z满足(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝__2＋i__.

[解析] (1＋2i)·＝4＋3i，

＝1＋2i(4＋3i)＝5((4＋3i)(1－2i))＝2－i，∴z＝2＋i.

三、解答题

9．计算：

(1)(－2(1)＋2(3)i)(2－i)(3＋i)；

(2)(5－4i)(1－i)(2i)2(4＋5i)).

[解析] (1)(－2(1)＋2(3)i)(2－i)(3＋i)

＝(－2(1)＋2(3)i)(7－i)＝2(3－7)＋2(3＋1)i.

(2)(5－4i)(1－i)(2i)2(4＋5i))＝5－4－9i(4i(4＋5i))

＝1－9i(－20＋16i)＝82(－4(5－4i)(1＋9i))

＝82(－4(41＋41i))＝－2－2i.

B级 素养提升

一、选择题

1．设复数z满足1＋z(1－z)＝i，则|1＋z|＝( C )

A．0 B．1

C． D．2

[解析] ∵1＋z(1－z)＝i，

∴z＝1＋i(1－i)，∴z＋1＝1＋i(1－i)＋1＝1＋i(2)＝1－i，

∴|z＋1|＝.

2．若i(x＋yi)＝3＋4i，x、y∈R，则复数x＋yi的模是( D )

A．2 B．3

C．4 D．5

[解析] 由xi＋yi²＝3＋4i，知x＝4，y＝－3，则x＋yi的模为＝5.

3．若复数(m²＋i)(1＋mi)是实数，则实数m的值是( B )

A．1 B．－1

C． D．－

[解析] (m²＋i)(1＋mi)＝m²＋i＋m³i＋mi²＝(m²－m)＋(m³＋1)i.

∵(m²＋1)(1＋mi)为实数，

∴m³＋1＝0，

∴m＝－1.故选B．

4．(2016·全国卷Ⅱ文2)设复数z满足z＋i＝3－i，则＝( C )

A．－1＋2i B．1－2i

C．3＋2i D．3－2i

[解析] 易知z＝3－2i，所以＝3＋2i.

二、填空题

5．(2015·江苏)设复数z满足z²＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为  .

[解析] 方法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(a＋bi)²＝a²－b²＋2abi＝3＋4i，从而2ab＝4(a2－b2＝3)，解得b2＝1(a2＝4)

故|z|＝＝.

方法二：因为z²＝3＋4i，所以|z²|＝|z|²＝|3＋4i|＝＝5，所以|z|＝.

6．(2015·重庆理)设复数a＋bi(a、b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝__3__.

[解析] 由题易得＝，故a²＋b²＝3.

(a＋bi)(a－bi)＝a²＋b²＝3.

7．(2017·浙江，12)已知a，b∈R，(a＋bi)²＝3＋4i(i是虚数单位)，则a²＋b²＝__5__，ab＝__2__.

[解析] (a＋bi)²＝a²－b²＋2abi.

由(a＋bi)²＝3＋4i，得ab＝2.(a2－b2＝3，)解得a²＝4，b²＝1.

所以a²＋b²＝5，ab＝2.

三、解答题

8.1＋i(m)＝1－ni，(m、n∈R，i是虚数单位)，求m、n的值.

[解析] ∵1＋i(m)＝1－ni，

∴2(m(1－i))＝1－ni，

∴m－mi＝2－2ni，

∴－m＝－2n(m＝2)，∴n＝1(m＝2).

C级 能力提高

1．已知复数z₀＝3＋2i，复数z满足z·z₀＝3z＋z₀，则复数z＝ 1－2(3)i .

[解析] ∵z₀＝3＋2i，

∴z·z₀＝3z＋2iz＝3z＋z₀，

∴2i·z＝z₀.设z＝a＋bi(a，b∈R)，

∴2i(a＋bi)＝3＋2i，即－2b＋2ai＝3＋2i.

∴2a＝2，(－2b＝3，)解得，(3)

∴z＝1－2(3)i.

2．已知z∈C，－(z)为z的共轭复数，若z·－(z)－3i－(z)＝1＋3i，求z.

[解析] 设z＝a＋bi(a、b∈R)，则－(z)＝a－bi(a，b∈R)，

由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，

即a²＋b²－3b－3ai＝1＋3i，

则有－3a＝3(a2＋b2－3b＝1)，

解得b＝0(a＝－1)或b＝3(a＝－1)，

所以z＝－1或z＝－1＋3i.

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