陕西省2020届高三数学（理）下学期第二次质量检测试题（解析版）
陕西省2020届高三数学（理）下学期第二次质量检测试题（解析版）,高三数学下学期第二次质检试题,陕西省,莲山课件.
2020年高三第二次教学质量检测
文科数学
一､选择题
1.定义 ，若 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题中的新定义,找出属于 不属于 的元素.即可确定出 .
【详解】解:集合 .
故选C
【点睛】此题考查了补集及其运算,属于新定义题型,弄清题中“差集”的新定义是解本题的关键.
2.已知 是虚数单位，复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为 ，所以复数 的虚部为 ，故选B.
3.函数 的一个零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出 根据零点存在性定理得解.
【详解】由题得 ，
，
所以
所以函数 的一个零点所在的区间是 .
故选B
【点睛】本题主要考查零点存在性定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.
4.空气质量指数(简称：AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI大小分为六级： 为优， 为良， 为轻度污染， 为中度污染， 为重度污染， 为严重污染.下面记录了北京市 天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是( )
A. 在北京这 天的空气质量中，按平均数来考查，最后 天的空气质量优于最前面 天的空气质量
B. 在北京这 天的空气质量中，有 天达到污染程度
C. 在北京这 天的空气质量中， 月 日空气质量最差
D. 在北京这 天的空气质量中，达到空气质量优的天数有 天
【答案】D
【解析】
【分析】
由频率分布折线图逐一对四个选项分析即可得出.
【详解】因为 ， ， ， ，所以在北京这 天的空气质量中，按平均数来考察，最后 天的空气质量优于最前面 天的空气质量，即选项A正确；
AQI不低于 的数据有 个： ， ， ，所以在北京这 天的空气质量中，有 天达到污染程度，即选项B正确；
因为 月 日的AQI为 ，为重度污染，该天的空气质量最差，即选项C正确；
AQI在 的数据有 个： ， ， ， ， ， ，即达到空气质量优的天数有 天，所以选项D错.
故选：D.
【点睛】本题考查频率分布折线图的应用，属于基础题.
5.已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 与 的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平方运算可求得 ，利用 求得结果.
【详解】由题意可知： ，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.
6.已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A. 39 B. 45 C. 50 D. .55
【答案】C
【解析】
【分析】
对已知等式变形得数列数列 是等差数列，从而求得 ，得出结论．
【详解】∵ ，∴ ，∴ ，即 ，∴数列 是等差数列，公差为1，首项为 ，∴ ， ． ， ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查数列的递推式，考查等差数列的通项公式和数列的前 项和定义．解题关键是已知变形得出数列 是等差数列．
7.已知圆 和 关于直线 对称，若圆 的方程是 ，则圆 的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本题首先可以通过圆 的方程得出圆 的圆心，然后通过圆 和 关于直线 对称得出圆 的圆心坐标，最后得出圆 的方程．
【详解】由圆 的方程是 ，得圆心坐标为 ，半径为 ，
设点 关于 的对称点为 ，
则 ，解得 ．
所以圆 的圆心坐标为 ，则圆 的方程是 ，故选D．
【点睛】本题考查的是圆的相关性质，主要考查圆关于直线的对称圆方程，圆与对称圆的圆心关于直线对称，半径相同，由此即可通过计算出对称圆的圆心来推断出对称圆方程．
8.已知函数 图象如图所示，则该函数可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由图象关于原点对称知函数为奇函数，A、C中函数为偶函数排除，B、D选项中函数为奇函数，再根据函数的单调性确定可能的函数.
【详解】由图象可知，该图象关于原点对称，故函数 为奇函数.
A选项， ，且定义域 ，
∴该函数为偶函数，不符合题意，A错误.
B选项， ，且定义域为 ，
∴该函数为奇函数.易知当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，符合题意，B正确.
C选项， ，且定义域为 ，
∴该函数为偶函数，不符合题意，C错误.
D选项， ，且定义域 ，
∴该函数为奇函数.易知当 时， ；当 时， ，不符合题意，D错误.
故选：B.
【点睛】本题考查函数图象的辨析，考查函数的基本性质，涉及三角函数的单调性，属于中档题.
9.2019年底，武汉突发新冠肺炎疫情，2020年初开始蔓延.党中央､国务院面对“突发灾难”果断采取措施，举国上下，万众一心支援武汉，全国各地医疗队陆续增援湖北，纷纷投身疫情防控与救治病人之中.为了分担“抗疫英雄”的后顾之忧，某校教师志愿者开展“爱心辅导”活动，为抗疫前线医务工作者子女开展在线辅导.春节期间随机安排甲､乙两位志愿者为一位初中生辅导功课共3次，每位志愿者至少辅导1次，每一次只有1位志愿者辅导，到甲恰好辅导两次的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
用列举法列出所有基本事件，然后计数可得概率．
【详解】由题意辅导三次的所有基本事件为：甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲，甲乙乙，乙甲乙，乙乙甲共6个，其中甲恰好辅导两次的有甲甲乙，甲乙甲，乙甲甲共3个，∴所求概率为 ．
故选：D．
【点睛】本题考查古典概型，解题方法是列举法，即用列举法写出所有基本事件，然后分别计数后计算概率．
10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF； ②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．
其中正确的个数为( )个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可先画出正方体,再利用空间中判断线线夹角的一般方法逐个选项判断即可.
【详解】还原正方体,以正方形 为底面有
对①,因为 ∥ ,且 有 ,故①正确.
对②,因为 ∥ ,所以②错误.
对③,由图可得显然正确.
对④, ,故④错误.
故选B
【点睛】本题主要考查空间中线面的位置关系与夹角,一般利用平行将线段移至相交位置分析夹角.
11.我国古代《周髀算经》中记载，古人通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如图，一位渔民在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一来记录捕鱼条数.由图可知，这位渔民共捕鱼（ ）条.
A. 39 B. 64 C. 11 D. 224
【答案】B
【解析】
【分析】
根据满五进一来记录捕鱼条数的规律，这相当于五进制数，化为十进制即可．
【详解】由题意所记录的数相当于五进制数，∴这位渔民共捕鱼条数为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查进制数之间的认识与转化，读懂题意是解题关键．
12.已知定义在 上的函数 满足 ，其中 是函数 的导函数.若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
引入新函数 ，求导后确定 的单调性，由单调性解不等式．
【详解】设 ，则 ，∵ 且 ，∴ ，∴ 在 上单调递减，
不等式 可化为 ，即 ，∴ ，∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查用单调性解函数不等式，解题关键是引入新函数 ，然后利用已知条件确定单调性后求解不等式．
二､填空题
13.某校高一（1）班有学生36人，高一（2）班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出13人参加军训表演，则高一（2）班被抽出的人数是__________.
【答案】7
【解析】
根据分层抽样的定义得到
故答案为7.
14.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北 的方向上，行驶600m后到达 处，测得此山顶在西偏北 的方向上，仰角为 ，则此山的高度 ________ m.
【答案】
【解析】
试题分析:由题设可知在 中, ,由此可得 ,由正弦定理可得 ,解之得 ,又因为 ,所以 ,应填 .
考点：正弦定理及运用．
15.已知函数 ，若曲线 在 处的切线与直线 平行，则 ______.
【答案】2
【解析】
【分析】
求出导函数，利用 可求得 ．
【详解】由已知 ，∵曲线 在 处的切线与直线 平行，∴ ， ．
故答案为：2．
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件，掌握导数几何意义是解题基础．
16.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，则该六边形点阵的第6层共有______个点.如果一个六边形点阵共有169个点，则它共有______层.
【答案】 (1). 30个 (2). 8层
【解析】
【分析】
观察图形，归纳出每层点数之间的递推关系，从而得出每层点数所成数列的通项公式．
【详解】记第 层点数为 ，则 ， ， ， 时， ，∴数列 从第2项开始成等差数列， ，即 ，
∴ ，由 得 （ 舍去）．即题中六边形点阵有8层．
故答案为：30；8．
【点睛】本题考查归纳推理，解题关键是寻找规律，本题可以看作是数列模型 应用，即以每层点数作为一个数列的项，形成一个数列，然后归纳出数列项的规律，利用数列知识得出结论．
三､解答题
17.如图，在直三棱柱 中， ，
陕西省2020届高三理科数学第三次联考试题（解析版）
陕西省2020届高三理科数学第三次联考试题（解析版）,高三数学第三次联考试题,陕西省,莲山课件.
分别是棱 ， 的中点，点 在 棱上，且 ， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）当 时，求三棱锥 的体积.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）连接 交 于点 ，由重心性质可得 ，由相似可得 ，最后根据线面平行判定定理得结论（2）取 上一点 使 ，利用平行进行等体积代换 ，最后根据锥体体积公式求体积
试题解析：解：（1）(法一)连接 交 于点 ，连接
由 分别是棱 中点，故点 为 的重心
在 中，有
，又 平面
平面
（法二）取 的中点 ，连接
由 是棱 的中点， 为 的中点，
为 的中位线，即 平面
又 为棱 的中点， 为 的中点
由 ，由 ，且 为直三棱柱
，进而得
，即 平面
又 平面 平面
又 平面 平面
(2)取 上一点 使
∵ 且直三棱柱
∴ ，∵ 为中点
∴ , , 平面
∴
而 ,
点 到平面 的距离等于
∴
∴三棱锥 的体积为
18.已知函数 ，若 的图象上相邻两条对称轴的距离为 ，图象过点 .
（1）求 的表达式和 的递增区间；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数 的图象.若函数 在区间 上有且只有一个零点，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， 的递增区间为 ， .（2）
【解析】
【分析】
（1）由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数，相邻两条对称轴的距离为 ，可得周期，从而得 ，再代入坐标 得 ；
（2）由三角函数图象变换得 ，题意转化为 的图象与直线 在 上只有一个公共点，结合函数图象易得结论．
【详解】（1） ，
的最小正周期为 ，∴ .
∵ 的图象过点 ，∴ ，∴ ，
即 .
令 ， ， ， ，
故 的递增区间为 ， .
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数 的图象.
∵ ，∴ ，∴ ，故 在区间 上的值域为 .
若函数 在区间 上有且只有一个零点，
即函数 的图象和直线 只有一个公共点，
如图，
根据图象可知， 或 ，即 .
故实数 的取值范围是 .
【点睛】本题考查由三角函数的性质求解析式，考查三角函数的单调性，考查函数的零点个数问题，掌握正弦函数的图象与性质是解题关键．函数零点个数问题常常转化为函数图象与直线交点个数，利用数形结合思想求解．
19.随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随即抽取 人对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的 人中的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：
男 女 总计
认为共享产品对生活有益
认为共享产品对生活无益
总计
（1）根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过 的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系？
（2）现按照分层抽样从认为共享产品增多对生活无益的人员中随机抽取 人，再从 人中随机抽取 人赠送超市购物券作为答谢，求恰有 人是女性的概率.
参与公式：
临界值表：
【答案】(1) 可以在犯错误的概率不超过 的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系(2)
【解析】
试题分析：（1）根据题中数据，利用参考公式计算 的观测值 ，对应查表下结论即可；
（2）从认为共享产品增多对生活无益的女性中抽取4人，记为 ，从认为共享产品增多对生活无益的男性中抽取2人，记为 ，写出所有的基本事件，即可得到恰有1人是女性的概率.
试题解析：
（1）依题意，在本次的实验中， 的观测值 ，
故可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对共享产品的态度与性别有关系；
（2）依题意，应该从认为共享产品增多对生活无益的女性中抽取4人，记为 ，从认为共享产品增多对生活无益的男性中抽取2人，记为 ，
从以上6人中随机抽取2人，所有的情况为： ， 共15种，其中满足条件的为 共8种情况，故所求概率 ．
20.已知点 在椭圆 ： 上，且点 到 的左、右焦点的距离之和为 .
（1）求 的方程；
（2）设 为坐标原点，若 的弦 的中点在线段 （不含端点 ， ）上，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的定义和椭圆上点的坐标，求得椭圆的标准方程.
（2）设出 的坐标，求得 中点的坐标，由 的斜率得到 ，利用点差法求得 的斜率，设出直线 的方程并代入椭圆方程，写出判别式以及韦达定理，利用平面向量的坐标运算，化简求得 的取值范围.
【详解】（1）由条件知 ， ，所以 ， ，
∴椭圆 方程为 .
（2）设点 、 的坐标为 ， ，则 中点 在线段 上，且 ，
∴ ，又 ， ，两式相减得 ，
易知 ， ，所以 ，即 .
设 方程为 ，代入 并整理得 .
由 解得 ，又由 ，∴ .
由韦达定理得 ， ，
故
.
而 ，所以 的取值范围是 .
【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查点差法，考查向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于中档题.
21.函数 的图象关于原点对称，函数 分别在点 ､ 处有极大值和极小值，且 ， .
（1）求函数 的解析式；
（2）若 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） .（2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）由函数图象关于原点对称得 ，由极值点得方程 的两实根是 ， ，从而得 ，由 及 得 的关系，此关系式连同 代入 可求得 ，得函数解析式；
（2）求出 的最小值，解相应不等式可得 的范围．
【详解】（1） 的图象关于原点对称，即函数为奇函数，∴ 恒成立，即 ． ， ，∴ ，
∵ ， 是 的两个极值点，
∴方程 的两实根是 ， ，则 ，
∵
∴ ，
又 ，∴ ， .
（2）由（1）， ， ，由 得 ，从而极大值为 ，极小值为 ，又 ，∴当 时， 的最小值是 ，故 ，
所以 或 .
【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数的极值的概念，考查不等式恒成立问题．掌握导数与函数极值（最值）关系是解题基础．不等式恒成立问题常常分离参数后转化为求函数的最值，然后再解相应不等式得出结论．
22.在平面直角坐标系 中，已知圆 的参数方程为 （ 为参数， ）.以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 的极坐标方程是 .
（1）若直线 与圆 有公共点，试求实数 的取值范围；
（2）当 时，过点 且与直线 平行的直线 交圆 于 两点，求 的值.
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析:(1)根据极坐标与普通方程的互化公式求出直线的直角坐标方程,消参得出圆的普通方程, 直线 与圆 有公共点，则圆心到直线的距离 ,即可求出范围;(2)将直线的参数方程代入曲线方程,根据t的几何意义求值即可.
试题解析:
（1）由 ，
得 ，
即 ，
故直线 的直角坐标方程为 .
由
得
所以圆 的普通方程为 .
若直线 与圆 有公共点，则圆心 到直线 的距离 ，即 ，
故实数 的取值范围为 .
（2）因为直线 的倾斜角为 ，且过点 ，
所以直线 的参数方程为 （ 为参数），①
圆 的方程为 ，②
联立①②，得 ，
设 两点对应的参数分别为 ，
则 ， ，
故 .
23.已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）已知函数 ，若对于任意 ，都存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）根据绝对值定义分类去掉绝对值符号后，分类解不等式即可得；
（2）求出 和 的最小值，题意题意转化为 的最小值不小于 的最小值，解之可得 的范围．
【详解】（1）依题意，得 ，
由 ，得 或 或 .解得 .
即不等式 的解集为 .
（2）由（1）知， ，
，
则 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查绝对值的性质，根据绝对值的定义去绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法，除去绝对值符号求解外还可利用绝对值三角不等式求含绝对值的函数的最值．
山东省烟台市2020届高三数学高考适应性练习（一）试题（Word版附答案）
山东省烟台市2020届高三数学高考适应性练习（一）试题（Word版附答案）,高三数学高考适应性练习,山东,烟台市,莲山课件.
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