北京市密云区2020届高三数学下学期第二次阶段性试题（解析版）
北京市密云区2020届高三数学下学期第二次阶段性试题（解析版）,高三数学下学期阶段试题,北京市,密云区,莲山课件.
2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试
理科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数 的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据复数 代数形式的运算法则化简，再根据共轭复数的定义即可求出．
【详解】因为 ，所以其共轭复数为 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查复数的代数形式的运算法则和共轭复数的定义的应用，属于容易题．
2.集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由一元二次不等式的解法和二次函数的性质，化简集合，求出集合 的补集，最后进行交集运算即可.
【详解】 或 ，
，
故选：A
【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题.
3.下图是2020年2月15日至3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例 折线统计图．则下列说法不正确的是（ ）
A. 2020年2月19日武汉市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数
B. 武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低
C. 2020年2月19日至3月2日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有8天
D. 2020年2月15日到3月2日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天比最少的一天多1549人
【答案】D
【解析】
【分析】
根据图表中提供的信息，对应各选项即可判断其真假．
【详解】对于A，由图可知，2020年2月19日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例从2月18日的1660人大幅下降至615人，所以A正确；
对于B，从2020年2月19日起至2月29日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例大约在300-615之间，3月起继续减少，没有出现大幅增加，所以B正确；
对于C，由图可知，2020年2月19日至3月2日，武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于400人的有，2月20日，21日，23日，25日，26日，27日，3月1日，2日，共8天，所以C正确；
对于D，2020年2月15日到3月2日中，武汉市新增新冠肺炎确诊病例最多的是2月16日1690例，最少的是3月2日111例，1690-111=1579，所以D不正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查学生的识图和数据分析能力，属于容易题．
4.若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性，结合作商法求解即可.
【详解】 ， ，则A错误；
， ， ，则B错误；
， ，则C错误；
， ，则D正确
故选：D
【点睛】本题主要考查了对数式，指数式的比较大小问题，涉及了作商法的应用，属于中档题.
5.角谷猜想，也叫 猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1．如：取 ，根据上述过程，得出6，3，10，5，16，8，4，2，1，共9个数．若 ，根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则两个数都是奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，得出上述过程的整数，结合古典概型的概率公式求解即可.
【详解】若 ，根据上述过程得出的整数分别为 ，共 个数
其中奇数共有 个
所以随机选取两个不同的数，则两个数都是奇数的概率为
故选：A
【点睛】本题主要考查了古典概型概率的计算，属于中档题.
6.已知函数 是偶函数， 为奇函数，并且当 时， ，则下列选项正确的是（ ）
A. 在 上为减函数，且 B. 在 上为减函数，且
C. 在 上为增函数，且 D. 在 上为增函数，且
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意 为奇函数，可知函数 关于点 对称，再结合函数 是偶函数可得出函数 的周期为4，而 ， ，利用周期从而可求得 时的解析式，即解出．
【详解】因为函数 为奇函数，所以函数 关于点 对称，即 ，
函数 是偶函数，所以 ，于是， ，用 替换 ，可得 ，所以 ．
当 ， ，
当 时， ，所以 在 上为增函数，且 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数的性质的应用，涉及函数的周期性，对称性，奇偶性的应用，以及利用函数解析式判断其单调性，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
7.已知双曲线 的两条渐近线的倾斜角成2倍关系，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
设经过一三象限的渐近线的倾斜角为 ，则另一条渐近线的倾斜角为 ，结合渐近线的方程得出 ，再由二倍角的正切公式，得出 ，最后由离心率公式，即可得出答案.
【详解】设经过一三象限的渐近线的倾斜角为 ，则另一条渐近线的倾斜角为
则有
因为 ，所以
故选：C
【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率，涉及了二倍角的正切公式的应用，属于中档题.
8.执行如图所示的程序框图，则输出的 为（ ）
A. 2020 B. 1010 C. l011 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
读懂程序框图的功能，结合等差数列的求和公式，即可得出答案.
【详解】由程序框图可知，该程序的功能是计算
的值
则输出的 为
故选：D
【点睛】本题主要考查了由循环结构框图求输出值，属于中档题.
9.已知 ， ．若 且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据向量的加法运算求出 ，再根据向量垂直数量积为零，以及数量积的坐标运算，向量的模的坐标计算公式，列出方程组，即可求出．
【详解】因为 ，所以 ，
，
即 ，因而， ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查向量的加法运算，数量积运算，以及向量的模的坐标计算公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
10.已知 是函数 ， 的极小值点，则 的值为（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由三角恒等变换化简函数解析式，根据极小值点的定义以及正弦函数的性质，得出 ，再计算 ，即可得出答案.
【详解】
为极小值点
，即
，即
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，正弦函数的性质的应用，属于中档题.
11.把圆心角为 的扇形铁板围成一个圆锥，则该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据扇形的形状，可得出圆锥底面半径与母线的长的关系，进而求得其侧面积，再根据圆锥的外接球的半径为其轴截面三角形的外接圆半径，即可求得它的外接球的表面积，
【详解】设圆锥底面半径为 ，母线长为 ，根据题意以及弧长公式可知， ，解得 ，
所以该圆锥的侧面积为 ．
如图所示，
由图可知，圆锥的外接球的半径为其轴截面三角形 的外接圆半径，
设圆锥的外接球的半径为 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
因此，该圆锥的外接球的表面积为 ．
故该圆锥的侧面积与它的外接球的表面积之比为 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积公式，弧长公式的应用，以及圆锥外接球的表面积求法，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
12.抛物线 的焦点为 ，点 在 上且 在准线上的投影为 ，直线 交 轴于点 ．以 为圆心， 为半径的圆 与 轴相交于 两点， 为坐标原点．若 ，则圆 的半径为（ ）
A. 3 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设 ，根据抛物线的性质得出 ， ，由中位线定理可得出 ，结合 ，得出 ，由圆的性质得出 ，结合两点间距离公式，即可得出圆 的半径.
【详解】设 ，则 ， ，设准线与 轴交于点
， 为 的中点
为 的中点，则
由 得出，点 为线段 的中点，则
由抛物线的定义可知，
，即
，
即圆 的半径为
故选：B
【点睛】本题主要考查了抛物线的性质的应用，中点坐标公式，两点间距离公式的应用，属于中档题.
二、填空题：
13.命题 ， 的否定为________．
【答案】 ， 或 无意义
【解析】
【分析】
由否定的定义求解即可.
【详解】命题 ， 否定为 ， 或 无意义
故答案为： ， 或 无意义
【点睛】本题主要考查了写出特称命题的否定，属于基础题.
14.直线 与曲线 相切，则切点的横坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
设切点为 ，利用导数的几何意义求解即可.
【详解】设切点为 ， ，
又 ，
，解得：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.
15.对于函数 的叙述，正确的有______（写出序号即可）．
①若 ，则 ；②若 有一个零点，则 ；③ 在 上为减函数．
【答案】①②
【解析】
【分析】
利用对数函数的性质判断①；将函数的零点转化为函数图象的交点，进而判断②；取 ，得出 ，进而判断③.
【详解】对①， ，
当 时，由于 ，则 ，则①正确；
对②，
北京市海淀区2020届高三数学下学期二模试题（解析版）
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由①可知，当 时， ，此时函数 无零点
当 时，令 ，得 ，即
函数 的图象，如下图所示
若函数 有一个零点，则函数 与 的图象有一个交点
由图象可知， ，则②正确；
对③，当 时， ， ，则
即当 时，函数 在 上不 减函数，则③错误；
故答案为：①②
【点睛】本题主要考查了求分段函数的值域以及求函数零点的个数，属于中档题.
16.已知 分别为 的三个内角 的对边， ， ， 为 内一点，且 ， ，则 _____．
【答案】
【解析】
【分析】
先由正弦定理的角化边以及余弦定理得出 ，再由 得出 为 的重心，作辅助线，利用三角形全等，等腰直角三角形的性质，直角三角形的边角关系得出 ，最后由重心的性质得出 .
【详解】由正弦定理可得 ，即
，
， 为 的重心
取 的中点为 ，连接 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，过点 作 的垂线，交 的延长线于点 ，如下图所示
显然， ，设 ， ，则
因为 ，
所以
由于在 中， ， ，则 ，
在 中， ，解得
故答案为：
【点睛】本题主要考查了正弦定理的边化角公式以及余弦定理，涉及三角形重心的判断，直角三角形的边角关系，属于中档题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题
17.已知数列 满足 ， ，且数列 为等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）写出 的前两项，确定其首项以及公差，得出 的通项公式，再求出数列 的通项公式；
（2）求出 的通项公式，再结合裂项求和法求解即可.
【详解】（1）由 ，可求得
数列 是以 为首项， 为公差的等差数列
（2）
【点睛】本题主要考查了求数列的通项公式以及利用裂项求和法求数列的和，属于中档题.
18.如图，在三棱锥 中， 平面 ，平面 平面 ， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）若二面角 的余弦值为 ，线段 的长．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）利用面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法得出 ，再由勾股定理得出线段 的长．
【详解】（1） 平面 ， 平面
取 的中点为 ，连接
又 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
平面
又 平面
， 平面
平面
（2）设 ，由（1）知， 平面 ， 平面 ，
如图，分别以 所在直线为 轴， 轴，过点 作 轴，且平行于
建立空间直角坐标系
易得
平面 的法向量为
设平面 的法向量为
解得 ，即
从而得出 ，在 中，
线段 的长为
【点睛】本题主要考查了证明线面垂直以及由面面角求其他量，属于中档题.
19.已知椭圆 的焦距为4．且过点 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设 ， ， ，过B点且斜率为 的直线l交椭圆E于另一点M，交x轴于点Q，直线AM与直线 相交于点P．证明： （O为坐标原点）．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意可求出焦点坐标，再根据椭圆的定义即可求出 ，然后根据 求出 ，即可得到椭圆E的方程（或直接根据点在椭圆上，以及 ，即可解出）；
（2）由直线l的方程 可得点 ，联立直线l与椭圆 的方程可计算出点 的坐标，再根据联立直线 与直线 的方程可得点 的坐标，然后根据斜率公式分别计算出直线 的斜率，根据斜率相等，即可证得 ．
【详解】（1）由题可知， ， ，
椭圆的左，右焦点分别为 ， ．
由椭圆的定义知 ，
， ，
椭圆E的方程为 ．
（另解：由题可知 ，解得 ）．
（2）易得 ， ， ，
直线 与椭圆 联立，得 ，
，从而 ， ．
直线AM的斜率为 ，直线AM的方程为 ．
令 ，得 ，
直线PQ的斜率 ．
直线OC的斜率 ，
，从而 ．
【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，以及利用斜率相等证明直线平行，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．
20.2019年第十三届女排世界杯共12支参赛球队，比赛赛制釆取单循环方式，即每支球队进行11场比赛，最后靠积分选出最后冠军．积分规则如下（比赛采取5局3胜制）：比赛中以3—0或3—1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3—2取胜的球队积2分，负队积1分．9轮过后，积分榜上的前2名分别为中国队和美国队，中国队积26分，美国队积22分．第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为 ．
（1）第10轮比赛中，记中国队3—1取胜的概率为 ，求 的最大值点 ．
（2）以（1）中的 作为 的值．
（i）在第10轮比赛中，中国队所得积分为 ，求 的分布列；
（ⅱ）已知第10轮美国队积3分，判断中国队能否提前一轮夺得冠军（第10轮过后，无论最后一轮即第11轮结果如何，中国队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）（i）见解析（ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（1）先得出 ，结合导数得出函数 的单调性，进而得出 的最大值点 ；
（2）（i）先得出 的可能取值，再得出其相应概率，列出分布列即可；
（ⅱ）若中国队在第10轮比赛中，获得 积分，则总积分为 分，即便美国队第 都获得 分，则总积分为 分，则中国队可以提前一轮夺得冠军，最后由（i）得出其概率.
【详解】（1）
由此
令 ，得
当 时， 在 上为增函数；
当 时， 在 上为减函数；
所以 的最大值点
（2）由（1）知
（i） 可取
所以 的分布列为
（ⅱ）若 ，则中国队 轮后的总积分为 分，美国队即便第 轮和第 轮都积 分，则 轮过后的总积分是 分， ，所以，中国队如果第 轮积 分，则可提前一轮夺得冠军，其概率为
【点睛】本题主要考查了独立事件的实际应用，写出离散型随机变量的分布列以及导数的应用，属于中档题.
21.已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）证明：当 时， ．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数证明函数的单调性即可；
（2）利用导数以及零点存在性定理得出函数 的单调性以及最值，再构造函数，利用导数证明其单调性，即可得出结论.
【详解】（1）当 时，
令
当 ，得 ；当 ，得
在 上单调递增，在 上单调递减
在 上恒成立
在 上为减函数,
的单调区间是 .
（2） ，令
令 ，得
在 上恒成立， 在 上单调递增，
即 在 上单调递增
由于 ，则
存在 ，使得 ，
即
在 上单调递减，在 上单调递增
令 恒成立
在 上为减函数
，从而 ， 命题得证
【点睛】本题主要考查了利用导数证明单调性以及利用导数证明不等式，属于中档题.
（二）选考题：
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系xOy中，曲线 ，曲线 （ 为参数）；在以О为极点x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 ．l与 ， 分别交于异于极点的A，B两点，且 ．
（1）写出曲线 的极坐标方程；
（2）求实数a的值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据 ，消去参数，即可求得曲线 普通方程，再根据直角坐标和极坐标互化公式即可求得曲线 的极坐标方程；
（2）将曲线 化成极坐标方程，然后将 分别代入，曲线 和 的极坐标方程即可求得 ，由题意列出方程，即可解出实数a的值．
【详解】（1）把曲线 化成普通方程为 ，即 ，
所以曲线 的极坐标方程为 ．
（2）把曲线 化成极坐标方程为 ，
把 分别代入 和 得， ，
，
， ，解得 ．
【点睛】本题主要考查曲线的参数方程，普通方程和极坐标方程之间的互化，以及极坐标系下 的几何意义的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
[选修4-5：不等式选讲]
23.已知函数 ．
（1）解不等式 ；
（2）若函数 的图象与直线 围成的图形的面积为6，求实数a的值．
【答案】（1） 或 ；（2）
【解析】
【分析】
（1）先根据绝对值的定义，确定分段点 ， ，再分类讨论，去掉绝对值，然后分别解不等式即可求出；
（2）根据题意作出函数函数 的图象与直线 ，由图可知，围成的图形为三角形，再根据三角形的面积公式列出等式，即可求出实数a的值．
【详解】（1） ，
当 时，由 ，得 ，解得 ；
当 时，由 ，得 ，无解；
当 时，由 ，得 ，解得 ．
所以 的解集为 ．
（2）由（1）知，方程 的解为 或 ．
作出函数 的图象，如图所示：
由图象可知，函数 的图象与直线 围成的图形为三角形，面积为 ，故 ，解得 ．
因为 ，所以 ．
【点睛】本题主要考查利用零点分段法解不等式，以及分段函数图象的应用，属于基础题．
北京市东城区2020届高三数学一模考试试题（解析版）
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