高一理科
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-8题，共40分，第Ⅱ卷为9-20题，共110分．全卷共计150分．考试时间为120分钟．
第Ⅰ卷（本卷共40分）
一、选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列中，的值是（ ）
A．15
B．30
C．31
D．64
3．过点（－1，3）且垂直于直线的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=（ ）
A. B. C. D.2
5．在中，若，，，则=（ ）
A． B． C． D．
6．已知点（，）（N*）都在函数（）的图象上，则与的大小关系是（ ）
A．＞ B．＜
C．＝ D．与的大小与有关
7．如图，正方形的边长为，延长至，使，
连接、，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知整数按如下规律排成一列：、、、、，，，，，，……，则第70个数对是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（本卷共计110分）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．已知两条直线若，则 ．
10．若，则下列不等式①；②③；④中，正确的不等式是 ．（填写正确序号）
11．已知点P在直线上，则的最小值为 ．
12．在中，若，AB=5，BC=7，则的面积S=__________.
13．在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为 ．
14．等比数列的首项为，公比．设表示该数列的前n项的积，
则当n= 时，有最大值．
三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）
15．（本小题满分12分）
（Ⅰ）求以下不等式的解集：
（1） （2）
（Ⅱ）若关于x的不等式的解集为，求实数m的值．
16．（本小题满分12分）
已知三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．
（Ⅰ)若,求c的值；
（Ⅱ）若c=5，求sin∠A的值．
17．（本小题满分14分）
等比数列的各项均为正数，且
（Ⅰ)求数列的通项公式；
（Ⅱ）设求数列的前n项和；
（III）设,求证：．
18．（本小题满分14分）
如图所示，某海岛上一观察哨A在上午11时测得一轮船在海岛北偏东的C处，12时20分测得船在海岛北偏西的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？
19．（本小题满分14分）
已知点到直线l：的距离为.数列{an}的首项，且点列均在直线l上.
（Ⅰ)求b的值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（III）求数列的前n项和.
20．（本小题满分14分）
已知数列{an}的前n项和为，且满足，数列满足，为数列的前n项和.
（Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（III）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得，，成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
一．选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
A
A
B
B
A
B
C
第Ⅱ卷（本卷共计110分）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．2 10. ①④ 11. 12． 13. 14.
14.解
，
∵，
∴当n≤10时，＞1，∴ | f(11) |＞| f(10) |＞…＞| f(1) |；
当n≥11时，＜1，∴ | f(11) |＞| f(12) |＞…
∵，∴的最大值为或中的最大者．
∵，
∴ 当n=12时，有最大值为．
三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）
15．（本小题12分）
（Ⅰ）求以下不等式的解集：
1． 2．
（Ⅱ）若关于x的不等式的解集为，求m的值．
解：（Ⅰ）1. 的解集为 3分
2． 的解集为 7分
（Ⅱ）若关于x的不等式的解集为，则0,2是的解．故
，解得，所以 12分
16．（本小题满分12分）
已知三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．
（Ⅰ)若,求c的值；
（Ⅱ）若c=5，求sin∠A的值．
(1)
由 得 5分
(2)
12分
17．（本小题14分）
等比数列的各项均为正数，且
（Ⅰ)求数列的通项公式；
（Ⅱ）（Ⅱ）设求数列的前n项和.
（III）设,求证：．
解：（Ⅰ）设数列的公比为q，由得所以。
由条件可知a>0,故。 2分
由得，所以。 4分
故数列的通项式为an=。 5分
（Ⅱ）
9分
（III）, 则
14分
18．（本小题满分14分）
如图所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东的C处，12时20分测得船在海岛北偏西的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？
解：轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟，
而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB，设EB=，则
则BC=4，由已知得 2分
在△AEC中，由正弦定理得：
5分
在△ABC中，由正弦定理得：
8分
在△ABE中，由余弦定理得：
11分
所以船速 答：该船的速度为 km/h 14分
19．（本小题满分14分）
已知点到直线l：的距离为.数列{an}的首项，且点列均在直线l上.
（Ⅰ)求b的值；
（Ⅱ）求数列{an}的通项；
（III）求数列的前n项和.
解：（Ⅰ)由点到直线l：的距离为，得
，解得b=2 3分
（Ⅱ）数列{an}满足，即，故是以2为首项，公比为3的等比数列，故，即 8分
（III）数列的通项，故由分组求和，错位相减求和得
14分
20．（本小题满分14分）
已知数列{an}的前n项和为，且满足，数列满足，为数列的前n项和，
（Ⅰ)求数列{an}的通项和；
（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（III）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得，，成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）由得， 3分
，
∴。 5分
（2）①当n为偶数时，要使不等式恒成立，
即需不等式恒成立，
，等号在n=2时取得
∴此时λ需满足λ＜25； 7分
②当n为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立，
是随n的增大而增大，
∴n=1时，取得最小值-6
∴此时λ需满足λ＜-21； 9分
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21。 10分
（3），
若成等比数列，
则，
由，
即，
∴， 12分
又m∈N，且m＞1，
所以m=2，此时n=12，
因此，当且仅当m=2，n=12时，数列{Tn}中的成等比数列。 14分
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