江西省南昌市高一下期中数学试卷含答（答案）

江西省南昌市高一（下）期中数学试卷

 

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1}，B={x|﹣2≤x＜1}，则A∩B=（  ）

A．{﹣1，0} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣2，﹣1，1}

2．设函数f（x）=，则f[f（3）]等于（  ）

A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5

3．函数y=sin2x是（  ）

A．最小正周期为2π的偶函数 B．最小正周期为2π的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数

4．已知logbac，则（  ）

A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a

5．函数f（x）=2^x﹣1+x﹣5的零点所在的区间为（  ）

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

6．要得到函数y=sin（x﹣）的图象，只需将函数y=sinx的图象（  ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

7．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+2，S_n为{a_n}的前n项和，若S_n=100，则n等于（  ）

A．7 B．8 C．9 D．10

8．设a，b∈R，且a＞b，则下列结论中正确的是（  ）

A．＞l B．＜ C．|a|＞|b| D．a³＞b³

9．下列表达式中，正确的是（  ）

A．sin（α+β）=cosαsinβ+sinαcosβ B．cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ

C．sin（α﹣β）=cosαsinβ﹣sinαcosβ D．cos（α﹣β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ

10．函数f（x）=3sin（ωx+φ）的部分图象如图，则f（x）的单调递增区间为（  ）

A．（kπ﹣，kπ﹣），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ﹣），k∈Z

C．（2k﹣，2k﹣），k∈Z D．（k﹣，k﹣），k∈Z

11．已知等比数列{a_n}中，a_n=2×3^n﹣1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和S_n的值为（  ）

A．3ⁿ﹣1 B．3（3ⁿ﹣1） C． D．

12．菱形ABCD边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别别在BC，CD上， =λ， =μ，若•=1， •=﹣，则λ+μ=（  ）

A． B． C． D．

 

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．log₆4+log₆9﹣8=      ．

14．不等式≥0的解集是      ．

15．函数y=sinx﹣cosx的最大值为      ．

16．设x＞0，y＞0，若log₂3是log₂x与log₂y的等差中项，则+的最小值为      ．

三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．向量=（4，﹣3），=（2x，y），=（x+，2），已知∥，⊥，求x，y的值．

18．已知函数f（x）=的定义域是集合A，函数g（x）=ln（x﹣a）的定义域是集合B．

（1）求集合A、B；

（2）若C={x|2＜1}，求A∩C．

19．已知函数f（x）=b•a^x（其中a，b为正实数且a≠1）的图象经过点A（1，27），B（﹣1，3）

（1）试求a、b的值；

（2）若不等式a^x+b^x≥m在x∈[1，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．

20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．

（1）求角B的大小；

（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．

21．已知等比数列{a_n}，满足a_n+1＞a_n，a₁+a₄=9，a₂•a₃=8．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）求数列{（2n﹣1）a_n}的前n项和T_n．

22．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．

（1）问第几年开始获利？

（2）若干年后，有两种处理方案：

①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；

②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．

问哪种方案更合算？

 

参考答案与试题解析

 

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合A={﹣2，﹣1，0，1}，B={x|﹣2≤x＜1}，则A∩B=（  ）

A．{﹣1，0} B．{﹣1，0，1} C．{﹣2，﹣1，0} D．{﹣2，﹣1，1}

【考点】交集及其运算．

【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．

【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，0，1}，B={x|﹣2≤x＜1}，

∴A∩B={﹣2，﹣1，0}，

故选：C．

 

2．设函数f（x）=，则f[f（3）]等于（  ）

A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5

【考点】函数的值．

【分析】根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．

【解答】解：f（3）=3²﹣3﹣5=9﹣3﹣5=1，

f（1）=1﹣2=﹣1，

即f[f（3）]=f（1）=﹣1，

故选：A

 

3．函数y=sin2x是（  ）

A．最小正周期为2π的偶函数 B．最小正周期为2π的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为π的奇函数

【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性．

【分析】根据三角函数的周期公式算出最小正周期T=π，结合正弦函数的奇偶性即可得到本题答案．

【解答】解：∵函数y=sin2x中ω=2

∴最小正周期为T==π

又∵y=sin2x满足f（﹣x）=﹣f（x）

∴函数y=sin2x是奇函数

因此，函数y=sin2x是最小正周期为π的奇函数

故选：D

 

4．已知logbac，则（  ）

A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a

【考点】对数值大小的比较．

【分析】直接利用对数函数的单调性结合已知得答案．

【解答】解：∵函数y=是减函数，

∴由logbac，

得c＜a＜b．

故选：B．

 

5．函数f（x）=2^x﹣1+x﹣5的零点所在的区间为（  ）

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

【考点】函数零点的判定定理．

【分析】根据零点的判定定理，对选项逐一验证即可．

【解答】解：∵f（0）f（1）=（）（1+1﹣5）＞0，排除A．

f（1）f（2）=（1+1﹣5）（2+2﹣5）＞0，排除B

f（2）f（3）=（2+2﹣5）（4+3﹣5）＜0，一定有零点

故选C．

 

6．要得到函数y=sin（x﹣）的图象，只需将函数y=sinx的图象（  ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

【解答】解：将函数y=sinx的图象向右平移个单位，可得函数y=sin（x﹣）的图象，

故选：B．

 

7．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+2，S_n为{a_n}的前n项和，若S_n=100，则n等于（  ）

A．7 B．8 C．9 D．10

【考点】数列的求和．

【分析】由已知可得数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，求出其前n项和后得答案．

【解答】解：由a₁=1，a_n+1=a_n+2，得数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，

则，

由S_n=100，得n=10．

故选：D．

 

8．设a，b∈R，且a＞b，则下列结论中正确的是（  ）

A．＞l B．＜ C．|a|＞|b| D．a³＞b³

【考点】不等式的基本性质．

【分析】对于A，B，C，举反例即可判断，对于D，根据幂函数的性质即可判断．

【解答】解：对于A，若a=1，b=﹣1，则＜1，故A不成立，

对于B，若a=1，b=﹣1，则＞，故B不成立，

对于C，若a=1，b=﹣1，则|a|=|b|，故C不成立，

对于D，对于幂函数y=x³为增函数，故a³＞b³，故D成立，

故选：D．

 

9．下列表达式中，正确的是（  ）

A．sin（α+β）=cosαsinβ+sinαcosβ B．cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ

C．sin（α﹣β）=cosαsinβ﹣sinαcosβ D．cos（α﹣β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ

【考点】两角和与差的余弦函数．

【分析】由条件根据根据两角和差的正弦、余弦公式，得出结论．

【解答】解：根据两角和差的正弦、余弦公式可得，sin（α+β）=cosαsinβ+sinαcosβ成立，

而cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ、sin（α﹣β）=cosαsinβ﹣sinαcosβ、

cos（α﹣β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ都不正确，

故选：A．

 

10．函数f（x）=3sin（ωx+φ）的部分图象如图，则f（x）的单调递增区间为（  ）

A．（kπ﹣，kπ﹣），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ﹣），k∈Z

C．（2k﹣，2k﹣），k∈Z D．（k﹣，k﹣），k∈Z

【考点】正弦函数的图象．

【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，再利用正弦函数的单调性，求得f（x）的增区间．

【解答】解：根据函数f（x）=3sin（ωx+φ）的部分图象，可得•=，求得ω=π．

再根据五点法作图可得π•+φ=π，求得φ=，∴（x）=3sin（πx+）．

令2kπ﹣≤πx+≤2kπ+，求得 2k﹣≤x≤2k﹣，故函数的增区间为2k﹣，2k﹣），k∈Z，

故选：C．

 

11．已知等比数列{a_n}中，a_n=2×3^n﹣1，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和S_n的值为（  ）

A．3ⁿ﹣1 B．3（3ⁿ﹣1） C． D．

【考点】等比数列的前n项和．

【分析】求出等比数列{a_n}中的第二项和第四项，求得新数列的公比，由等比数列的求和公式，即可得到所求．

【解答】解：等比数列{a_n}中，a_n=2×3^n﹣1，

即有a₂=6，a₄=54，

则新数列的公比为9，

即有S_n=

=．

故选：D．

 

12．菱形ABCD边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别别在BC，CD上， =λ， =μ，若•=1， •=﹣，则λ+μ=（  ）

A． B． C． D．

【考点】平面向量的基本定理及其意义．

【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由若•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣，得﹣2λ﹣2μ+2λμ=﹣②，结合①②求得λ+μ的值．

【解答】解：由题意可得•==+++=2×2×cos120°++=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°

=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，

∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．

•=﹣•（﹣）=（1﹣λ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）═（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，

即﹣2λ﹣2μ+2λμ=﹣②，

由①②求得λ+μ=，

故选：C．

 

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．log₆4+log₆9﹣8= ﹣2 ．

【考点】对数的运算性质．

【分析】利用对数的运算法则及有理数指数幂的运算法则即可求得．

【解答】解：原式=log₆（4×9）﹣=2﹣2²=﹣2．

故答案为：﹣2．

 

14．不等式≥0的解集是  ．

【考点】其他不等式的解法．

【分析】解不等式转化为不等式组，解出即可．

【解答】解：原不等式可化为：

或，

解得：﹣≤x＜，

故答案为：．

 

15．函数y=sinx﹣cosx的最大值为 2 ．

【考点】两角和与差的正弦函数．

【分析】变形可得y=2（cossinx﹣sincosx）=2sin（x﹣），易得最值．

【解答】解：化简可得y=sinx﹣cosx

=2（sinx﹣cosx）

=2（cossinx﹣sincosx）

=2sin（x﹣）

∴当sin（x﹣）=1时，原函数取最大值2

故答案为：2

 

16．设x＞0，y＞0，若log₂3是log₂x与log₂y的等差中项，则+的最小值为  ．

【考点】基本不等式；对数的运算性质．

【分析】由已知结合等差中项的概念求得xy=9，再利用不等式的性质求得+的最小值．

【解答】解：∵log₂3是log₂x与log₂y的等差中项，

∴log₂x+log₂y=2log₂3=log₂9，

则log₂xy=log₂9，

∴xy=9．

则+．

故答案为：．

 

三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．向量=（4，﹣3），=（2x，y），=（x+，2），已知∥，⊥，求x，y的值．

【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．

【分析】由已知向量的坐标，结合向量共线与垂直的坐标表示列关于x，y的方程组，求解方程组得答案．

【解答】解： =（4，﹣3），=（2x，y），=（x+，2），

由已知a∥b，a⊥c，

可得，

解得：x=6，y=﹣9．

 

18．已知函数f（x）=的定义域是集合A，函数g（x）=ln（x﹣a）的定义域是集合B．

（1）求集合A、B；

（2）若C={x|2＜1}，求A∩C．

【考点】交集及其运算；函数的定义域及其求法．

【分析】根据函数的定义域的求法，求出集合A，B，C，再根据交集的定义即可求出．

【解答】解：（1）因为（1+x）（2﹣x）≥0

所以﹣1≤x≤2，集合A={x|﹣1≤x≤2}； …

因为x﹣a＞0，所以x＞a，集合B={x|x＞a}…

（2）因为，

所以x²﹣2x﹣3＜0解得：{x|﹣1＜x＜3}，…

则A∩C={x|﹣1＜x≤2}．…

 

19．已知函数f（x）=b•a^x（其中a，b为正实数且a≠1）的图象经过点A（1，27），B（﹣1，3）

（1）试求a、b的值；

（2）若不等式a^x+b^x≥m在x∈[1，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．

【考点】指数函数的图象与性质；函数恒成立问题．

【分析】（1）根据点A、B在图象列出方程组，求出a、b的值；

（2）由（1）可得m≤3^x+9^x，令u（x）=3^x+9^x，由指数函数的单调性判断出函数u（x）在[1，+∞）上单调性，求出u（x）_min，由恒成立求出实数m的取值范围．

【解答】解：（1）由已知可得，，

解得a=3，b=9…

（2）由（1）可得m≤3^x+9^x，x∈[1，+∞），

令u=（x）3^x+9^x，x∈[1，+∞），只需m≤u_min…，

因为函数u（x）=3^x+9^x在[1，+∞）为单调增函数，…

所以u（x）_min=12，

即实数m的取值范围是：{m|m≤12}．…

 

20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．

（1）求角B的大小；

（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【分析】（1）由bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，化简整理即可得出．

（2）由sinC=2sinA，可得c=2a，由余弦定理可得：b²=a²+c²﹣2accosB，代入计算即可得出．

【解答】解：（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，

∵sinA≠0，∴sinB=cosB，

B∈（0，π），

可知：cosB≠0，否则矛盾．

∴tanB=，∴B=．

（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，

由余弦定理可得：b²=a²+c²﹣2accosB，

∴9=a²+c²﹣ac，

把c=2a代入上式化为：a²=3，解得a=，

∴．

 

21．已知等比数列{a_n}，满足a_n+1＞a_n，a₁+a₄=9，a₂•a₃=8．

（1）求数列{a_n}的通项公式；

（2）求数列{（2n﹣1）a_n}的前n项和T_n．

【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．

【分析】（1）由已知求得a₁，a₄的值，进一步求得公比，代入等比数列的通项公式得答案；

（2）直接利用错位相减法求数列{（2n﹣1）a_n}的前n项和T_n．

【解答】解：（1）在等比数列{a_n}中，

∵，∴，

解得：或（舍去），

∴，得q=2，

∴；

（2）设，

则T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=1+3•2+5•2²+…+（2n﹣1）•2^n﹣1，①

，②

由①﹣②得：

=1+2²+2³+…+2ⁿ﹣（2n﹣1）•2ⁿ

=2+2²+2³+…+2ⁿ﹣（2n﹣1）•2ⁿ﹣1

=，

∴．

 

22．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元．

（1）问第几年开始获利？

（2）若干年后，有两种处理方案：

①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；

②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．

问哪种方案更合算？

【考点】函数模型的选择与应用．

【分析】（1）由入纯收入等于n年的收入减去n年总的支出，我们可得f（n）=50n﹣[12+16+…+（8+4n）]﹣98，化简可得到纯收入关于使用时间n的函数解析式，然后构造不等式，解不等式即可得到n的取值范围．

（2）由（1）中的纯收入关于使用时间n的函数解析式，我们对两种方案分析进行分析比较，易得哪种方案更合算．

【解答】解：（1）由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．

设纯收入与年数的关系为f（n），

则f（n）=50n﹣[12+16+…+（8+4n）]﹣98=40n﹣2n²﹣98，

由f（n）＞0，

得10﹣

又∵n∈N*，

∴3≤n≤17．

即从第3年开始获利．

（2）①年平均收入为40﹣2×14=12，

当且仅当n=7时，年平均获利最大，为12万元/年．

此时，总收益为12×7+26=110（万元）．

②f（n）=﹣2（n﹣10）²+102，∵当n=10时，f（n）_max=102（万元）．

此时，总收益为102+8=110（万元）．

由于这两种方案总收入都为110万元，而方案①只需7年、而方案②需要10年，故方案①更合算．

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