湖北武汉九年级下第四次月考数学试卷（答案）

九年级（下）第四次月考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）实数+1的值在（  ）之间．

A．0～1 B．1～2 C．2～3 D．3～4

2．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（  ）

A．x＞﹣2 B．x＜2 C．x≠2 D．x≠﹣2

3．（3分）运用乘法公式计算（2+a）（a﹣2）的结果是（  ）

A．a²﹣4a﹣4 B．a²﹣2a﹣4 C．4﹣a² D．a²﹣4

4．（3分）下列事件是随机事件的是（  ）

A．任意画一个平行四边形，它是中心对称图形

B．方程x²﹣2x﹣1=0必有实数根

C．掷两次骰子，骰子向上的一面的点数之积为14

D．李老师购买了1张彩票，正好中奖

5．（3分）下列计算正确的是（  ）

A．x⁶÷x²=x³ B．2x•x=2x² C．3x²﹣2x³=x² D．x²+x²=2x⁴

6．（3分）如图，菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（﹣10，1）、C（2，6），则点A的坐标为（  ）

A．（﹣10，12） B．（﹣10，13） C．（﹣10，14） D．（2，12）

7．（3分）如图，几何体上半部分为正方体，下半部分为圆柱，其左视图为（  ）

A． B． C． D．

8．（3分）二中广雅管乐队队员的年龄，经统计有12、13、14、15四种年龄，统计结果如图．根据图中信息可以判断该批队员的年龄的众数和中位数为（  ）

A．8和6 B．15和14 C．8和14 D．15和13.5

9．（3分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A₁的伴随点为A₂， A₂的伴随点为A₃…，这样依次得到点A₁、A₂、A₃、A_n、…．若点A₁（2，2），则点A₂₀₁₆的坐标为（  ）

A．（﹣2，0） B．（﹣1，3） C．（1，﹣1） D．（2，2）

10．（3分）如图，AC⊥BC，AC=BC，点D是AB中点，过C、D的⊙O交AC、BC分别于E、F．若⊙O的半径为，AC=2+2，则△CEF的面积为（  ）

A． B． C． D．

 

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）计算：﹣10﹣6的结果为   ．

12．（3分）2016年湖北武汉中考报名人数为6.3万人，普通高中招生计划约为3.48万人，数34800用科学记数法表示为   ．

13．（3分）武汉二中广雅中学开展“广学雅行”活动，从学生会“监察部”的三名学生干部（2男1女）中随机选两名进行活动督查，恰好选中两名男学生的概率是   ．

14．（3分）如图，将矩形ABCD沿BD翻折，点C落在P点处，连结AP．若∠ABP=26°，那么∠APB=   ．

15．（3分）如图，点C是线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△ACD、等边△BCE，BD、AE交于点P．若AB=6，则PC的最大值为   ．

16．（3分）已知函数y=，将此函数的图象记为P．若直线y=x+b与图形P恰有两个公共点，则b的值为   ．

 

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）解方程：3x﹣1=2（x﹣2）

18．（8分）如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，连结AC、BD交于点P，求证：AC⊥BD．

19．（8分）武汉二中广雅中学为了了解全校学生的课外阅读的情况，随机抽取了部分学生进行阅读时间调查，现将学生每学期的阅读时间m分成A、B、C、D四个等级（A等：90≤m≤100，B等：80≤m＜90，C等：60≤m＜80，D等：m＜60；单位：小时），并绘制出了如图的两幅不完整的统计图，根据以上信息，回答下列问题：

（1）C组的人数是   人，并补全条形统计图．

（2）本次调查的众数是   等，中位数落在   等．

（3）国家规定：“中小学每学期的课外阅读时间不低于60小时”，如果该校今年有3500名学生，达到国家规定的阅读时间的人数约有   人．

20．（8分）已知双曲线y=和直线y=kx+4．

（1）若直线y=kx+4与双曲线y=有唯一公共点，求k的值．

（2）若直线y=kx+4与双曲线交于点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．当x₁＞x₂，请借助图象比较y₁与y₂的大小．

21．（8分）如图，⊙O的直径AB⊥弦CD，垂足为点E，点P在优弧CAD上（不包含点C和点D），连PC、PD、CB，tan∠BCD=

（1）求证：AE=CD；

（2）求sin∠CPD．

22．（10分）如图所示，学校准备修建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的高AM=3米，∠ABC=60°．设AE=x米（1≤x≤2），矩形EFGH的面积为S米²．

（1）求S与x的函数关系式；

（2）学校准备在矩形内种植红色花草，在四个三角形内种植绿色花草．已知：红色和绿色植物的价格为200元/米²，100元/米²，当x为何值时，购买花卉所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保留根号）．

23．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．

（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；

（2）若==2，求的值；

（3）若==n，当n为何值时，MN∥BE？

24．（12分）如图1，抛物线y=﹣x²+6x与x轴交于O、A两点，点P在抛物线上，过点P的直线y=x+m与抛物线的对称轴交于点Q．

（1）这条抛物线的对称轴是：直线   ，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是   度；

（2）若S_△POQ：S_△PAQ=1：2，求此时的点P坐标；

（3）如图2，点M（1，5）在抛物线上，以点M为直角顶点作Rt△MEF，且E、F均在抛物线上，则所有满足条件的直线EF必然经过定点N，求点N坐标．

 

参考答案与试题解析

 

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）实数+1的值在（  ）之间．

A．0～1 B．1～2 C．2～3 D．3～4

【解答】解：∵1＜3＜4，

∴1＜＜2，

∴2＜+1＜3．

故选：C．

 

2．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（  ）

A．x＞﹣2 B．x＜2 C．x≠2 D．x≠﹣2

【解答】解：∵分式有意义，

∴x+2≠0，即x≠﹣2．

故选：D．

 

3．（3分）运用乘法公式计算（2+a）（a﹣2）的结果是（  ）

A．a²﹣4a﹣4 B．a²﹣2a﹣4 C．4﹣a² D．a²﹣4

【解答】解：原式=a²﹣4，

故选：D．

 

4．（3分）下列事件是随机事件的是（  ）

A．任意画一个平行四边形，它是中心对称图形

B．方程x²﹣2x﹣1=0必有实数根

C．掷两次骰子，骰子向上的一面的点数之积为14

D．李老师购买了1张彩票，正好中奖

【解答】解：任意画一个平行四边形，它是中心对称图形是必然事件；

方程x²﹣2x﹣1=0必有实数根是必然事件；

掷两次骰子，骰子向上的一面的点数之积为14是不可能事件；

李老师购买了1张彩票，正好中奖是随机事件，

故选：D．

 

5．（3分）下列计算正确的是（  ）

A．x⁶÷x²=x³ B．2x•x=2x² C．3x²﹣2x³=x² D．x²+x²=2x⁴

【解答】解：A、x⁶÷x²=x⁴，故此选项错误；

B、2x•x=2x²，故此选项正确；

C、3x²与﹣2x³不是同类项，不能合并，故此选项错误；

D、x²+x²=2x²，故此选项错误；

故选：B．

 

6．（3分）如图，菱形ABCD中，AB∥y轴，且B（﹣10，1）、C（2，6），则点A的坐标为（  ）

A．（﹣10，12） B．（﹣10，13） C．（﹣10，14） D．（2，12）

【解答】解：∵B（﹣10，1）、C（2，6），

∴BC==13，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=13，

∴点A坐标为（﹣10，14），

故选：C．

 

7．（3分）如图，几何体上半部分为正方体，下半部分为圆柱，其左视图为（  ）

A． B． C． D．

【解答】解：从左边看下边是一个较大的矩形，上边是两个较小的矩形，

故选：D．

 

8．（3分）二中广雅管乐队队员的年龄，经统计有12、13、14、15四种年龄，统计结果如图．根据图中信息可以判断该批队员的年龄的众数和中位数为（  ）

A．8和6 B．15和14 C．8和14 D．15和13.5

【解答】解：15岁的队员最多，是8人，

所以，众数是15岁，

20人中按照年龄从小到大排列，第10、11两人的年龄都是14岁，

所以，中位数是14岁．，

故选：B．

 

9．（3分）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A₁的伴随点为A₂，A₂的伴随点为A₃…，这样依次得到点A₁、A₂、A₃、A_n、…．若点A₁（2，2），则点A₂₀₁₆的坐标为（  ）

A．（﹣2，0） B．（﹣1，3） C．（1，﹣1） D．（2，2）

【解答】解：观察，发现规律：A₁（2，2），A₂（﹣1，3），A₃（﹣2，0），A₄（1，﹣1），A₅（2，2），…，

∴A_4n+1（2，2），A_4n+2（﹣1，3），A_4n+3（﹣2，0），A_4n+4（1，﹣1）（n为自然数）．

∵2016=503×4+4，

∴点A₂₀₁₆的坐标为（1，﹣1）．

故选：C．

 

10．（3分）如图，AC⊥BC，AC=BC，点D是AB中点，过C、D的⊙O交AC、BC分别于E、F．若⊙O的半径为，AC=2+2，则△CEF的面积为（  ）

A． B． C． D．

【解答】解：连接CD、ED、DF、EF，如右图所示，

∵AC⊥BC，AC=BC，点D是AB中点，

∴CD=DA=DB，∠CDB=90°，∠ECD=∠FBD=45°，

又∵EF是⊙O的直径，

∴∠EDF=90°，

∴∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠FDB=90°，

∴∠EDC=∠FDB，

在△EDC和△FDB中，

，

∴△EDC≌△FDB（ASA），

∴CE=BF，

又∵AC=BC，AC=2+2，

∴BC=2+2，

即BF+FC=2+2，

∴CF+CE=2+2，

又∵∠ECF=90°，⊙O的半径为，

∴CE²+CF²=EF²，EF=2，

解得，CE•CF=4，

∴△CEF的面积为：，

故选：B．

 

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）计算：﹣10﹣6的结果为 ﹣16 ．

【解答】解：﹣10﹣6=﹣16．

故﹣10﹣6的结果为﹣16．

故答案为：﹣16．

 

12．（3分）2016年湖北武汉中考报名人数为6.3万人，普通高中招生计划约为3.48万人，数34800用科学记数法表示为 3.48×10⁴ ．

【解答】解：34800用科学记数法表示为：3.48×10⁴．

故答案为：3.48×10⁴．

 

13．（3分）武汉二中广雅中学开展“广学雅行”活动，从学生会“监察部”的三名学生干部（2男1女）中随机选两名进行活动督查，恰好选中两名男学生的概率是  ．

【解答】解：画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中恰好选中两名男学生的结果数为2，

所以恰好选中两名男学生的概率==．

故答案为．

 

14．（3分）如图，将矩形ABCD沿BD翻折，点C落在P点处，连结AP．若∠ABP=26°，那么∠APB= 32° ．

【解答】解：∵△BDC与△BDE关于BD对称，

∴△BDC≌△BDP，

∴BP=BC，DP=DC，∠DBP=∠DBC．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=DP，AD=BC=BP，AD∥BC，

∴∠ADB=∠CBD，

∴∠PBD=∠ADB，

∴BF=DF，

∴BP﹣BF=AD﹣DF，

∴AF=PF，

∴∠FAP=∠FPA，

∵∠AFP=∠BFD，

∴2∠PAF=2∠ADB，

∴∠PAF=∠ADB，

∴AP∥BD，

∴∠APB=∠PBD，

∵∠ABP=26°，

∴∠CBD=∠DBP=（90°﹣26°）=32°，

则∠APB=32°．

故答案为：32°．

 

15．（3分）如图，点C是线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△ACD、等边△BCE，BD、AE交于点P．若AB=6，则PC的最大值为  ．

【解答】解：如图，∵△ACD与△BCE都为等边三角形，

∴AC=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，

在△ACE和△DCB中，

，

∴△ACE≌△DCB（SAS）

∴AE=BD；

过C作CG⊥AE，CH⊥BD，

∵△ACE≌△DCB，

∴S_△ACE=S_△DCB，即AE•CG=BD•CH，

∵AE=BD，

∴CG=CH，

∴KC平分∠AKB，∵∠CDB=∠EAC，

∴∠ACP=∠DPA=60°，

∴∠APB=120°，∠APQ=∠BPQ=60°，

作△APB的外接圆，延长PC交△APB的外接圆于Q，

∵∠APB=120°是定值，∠APQ=∠BPQ=60°，

∴QA=QB，点Q是定点，

∴当PQ⊥AB时，PC的长最大，

此时PA=PB，AC=BC，PC=AC•tan30°=3×=．

故答案为．

 

16．（3分）已知函数y=，将此函数的图象记为P．若直线y=x+b与图形P恰有两个公共点，则b的值为 0或 ．

【解答】解：当直线y=x+b与y=﹣x²+2x（x≥0）有一个交点，与y=x²﹣2x（x＜0）有一个交点时，

﹣x²+2x=x+b，

则x²﹣x+b=0，

△=（﹣1）²﹣4×1×b=0，得b=，

当直线y=x+b与y=﹣x²+2x（x≥0）有两个交点，与y=x²﹣2x（x＜0）没有交点时，

则b=0，

故答案为：0或．

 

三、解答题（共8题，共72分）

17．（8分）解方程：3x﹣1=2（x﹣2）

【解答】解：去括号得：3x﹣1=2x﹣4，

解得：x=﹣3．

 

18．（8分）如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，连结AC、BD交于点P，求证：AC⊥BD．

【解答】证明：在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BAP=∠DAP，

∵AB=AD，

∴AC⊥BD．

 

19．（8分）武汉二中广雅中学为了了解全校学生的课外阅读的情况，随机抽取了部分学生进行阅读时间调查，现将学生每学期的阅读时间m分成A、B、C、D四个等级（A等：90≤m≤100，B等：80≤m＜90，C等：60≤m＜80，D等：m＜60；单位：小时），并绘制出了如图的两幅不完整的统计图，根据以上信息，回答下列问题：

（1）C组的人数是 50 人，并补全条形统计图．

（2）本次调查的众数是 100 等，中位数落在 C 等．

（3）国家规定：“中小学每学期的课外阅读时间不低于60小时”，如果该校今年有3500名学生，达到国家规定的阅读时间的人数约有 2975 人．

【解答】解：（1）调查的总人数40÷20%=200人，C组的人数=200﹣40﹣100﹣10=50，

补充如图；

（2）本次调查的众数是 100，即B等，中位数是=75，落在C等；

（3）3500×=2975人，

答：该校今年有3500名学生，达到国家规定的阅读时间的人数约有2975人．

 

20．（8分）已知双曲线y=和直线y=kx+4．

（1）若直线y=kx+4与双曲线y=有唯一公共点，求k的值．

（2）若直线y=kx+4与双曲线交于点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．当x₁＞x₂，请借助图象比较y₁与y₂的大小．

【解答】解：（1）

把①代入②得： =kx+4，

kx²+4x﹣6=0，

∵直线y=kx+4与双曲线y=有唯一公共点，

∴方程kx²+4x﹣6=0有唯一一个解，

即△=4²﹣4k•（﹣6）=0，

解得：k=﹣；

（2）当x₁＞x₂＞0时，y₁＜y₂；

当x₂＜x₁＜0时，y₁＜y₂；

当x₂＜0＜x₁时，y₁＞y₂．

 

21．（8分）如图，⊙O的直径AB⊥弦CD，垂足为点E，点P在优弧CAD上（不包含点C和点D），连PC、PD、CB，tan∠BCD=

（1）求证：AE=CD；

（2）求sin∠CPD．

【解答】（1）证明：连接AD，

∴∠BAD=∠BCD，

∵tan∠BCD=，

∴tan∠BAD=，

∴=，

∴DE=AE，

∵⊙O的直径AB⊥弦CD，垂足为点E，

∴CE=DE=CD，

∴AE=CD；

（2）解：作直径CE，连接ED，

∴∠CDE=90°，

∵tan∠BCD=，AB⊥弦CD，

∴CE=2BE，

∵AE=CD，

∴AB=CD，

∴=，

∵CE=AB，

∴=，

∴sin∠CED=，

∵∠CED=∠CPD，

∴sin∠CPD=．

 

22．（10分）如图所示，学校准备修建一个含内接矩形的菱形花坛（花坛为轴对称图形）．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的高AM=3米，∠ABC=60°．设AE=x米（1≤x≤2），矩形EFGH的面积为S米²．

（1）求S与x的函数关系式；

（2）学校准备在矩形内种植红色花草，在四个三角形内种植绿色花草．已知：红色和绿色植物的价格为200元/米²，100元/米²，当x为何值时，购买花卉所需的总费用最低，并求出最低总费用（结果保留根号）．

【解答】解：（1）连接AC、BD，

∵花坛为轴对称图形，

∴EH∥BD，EF∥AC，

∴△BEF∽△BAC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

又∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形．

同理，得到△BEF是等边三角形，

∵AB==2，

∴EF=BE=AB﹣AE=（2﹣x）m，

在Rt△AEM中，∠AEM=∠ABD=30°，

则EM=AEcos∠AEM=x，

∴EH=2EM=x，

故可得S=x（2﹣x）=﹣x²+6x；

（2）∵菱形ABCD的面积为2×3=6，

矩形EFGH的面积为﹣x²+6x，

∴四个三角形的面积为6+x²﹣6x，

设总费用为W，

则W=200（﹣x²+6x）+100（6+x²﹣6x）

=﹣100x²+600x+600

=﹣100（x﹣）²+900，

∵1≤x≤2，

∴当x=时，W取得最大值，最大值为900，

答：当x=时，购买花卉所需的总费用最低，最低总费用900．

 

23．（10分）如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．

（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；

（2）若==2，求的值；

（3）若==n，当n为何值时，MN∥BE？

【解答】解：（1）当F为BE中点时，如图1，则有BF=EF．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC，AB∥DC，

∴∠MBF=∠CEF，∠BMF=∠ECF．

在△BMF和△ECF中，

，

∴△BMF≌△ECF，

∴BM=EC．

∵E为CD的中点，

∴EC=DC，

∴BM=EC=DC=AB，

∴AM=BM=EC；

（2）如图2所示：设MB=a，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AB=DC，∠A=∠ABC=∠BCD=90°，AB∥DC，

∴△ECF∽△BMF，

∴==2，

∴EC=2a，

∴AB=CD=2CE=4a，AM=AB﹣MB=3a．

∵=2，

∴BC=AD=2a．

∵MN⊥MC，

∴∠CMN=90°，

∴∠AMN+∠BMC=90°．

∵∠A=90°，

∴∠ANM+∠AMN=90°，

∴∠BMC=∠ANM，

∴△AMN∽△BCM，

∴=，

∴=，

∴AN=a，ND=AD﹣AN=2a﹣a=a，

∴==3；

（3）当==n时，如图3：设MB=a．

∵△MFB∽△CFE，

∴=，即，解得EC=an．

∴AB=2an．

又∵=n，

∴，

∴BC=2a．

∵MN∥BE，MN⊥MC，

∴∠EFC=∠HMC=90°，

∴∠FCB+∠FBC=90°．

∵∠MBC=90°，

∴∠BMC+∠FCB=90°，

∴∠BMC=∠FBC．

∵∠MBC=∠BCE=90°，

∴△MBC∽△BCE，

∴=，

∴=，

∴n=4．

 

24．（12分）如图1，抛物线y=﹣x²+6x与x轴交于O、A两点，点P在抛物线上，过点P的直线y=x+m与抛物线的对称轴交于点Q．

（1）这条抛物线的对称轴是：直线 x=3 ，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是 45 度；

（2）若S_△POQ：S_△PAQ=1：2，求此时的点P坐标；

（3）如图2，点M（1，5）在抛物线上，以点M为直角顶点作Rt△MEF，且E、F均在抛物线上，则所有满足条件的直线EF必然经过定点N，求点N坐标．

【解答】解：（1）抛物线y=﹣x²+6x的对称轴x=﹣=3，

∵直线PQ：y=x+m与直线y=x平行，

直线y=x是一、三象限的平分线，

∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°，

故答案为x=3，45．

（2）如图1中，作直线y=x交对称轴于H，连接AH，延长AH交直线PQ于M，作ON⊥PQ于N则四边形ONMH是矩形．△AOH是等腰直角三角形．

∵S_△POQ：S_△PAQ=1：2，

∴AM=2ON，

∴ON=MH=AH，

∵点A（6，0），H（3，3），

∴点M（0，6），

∴直线PQ的解析式为y=x+6，

由解得或，

∴点P坐标（2，4）或（3，3）．

（3）如图2中，过点M作GH∥OA，过点E作EG⊥GH于G，过点F作FH⊥GH于H．

∵∠EMF=90°，

∴∠EMG+∠FMH=90°，

∵∠FMH+∠MFH=90°

∴∠EMG=∠MFH，∵∠G=∠H=90°，

∴△EMG∽△MFH，

∴=，设E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），直线EF的解析式为y=mx+n，

∴=，

∵y₁=﹣x₁²+6x₁，y₂=﹣x₂²+6x₂代入上式整理得到x₁x₂﹣5（x₁+x₂）+26=0

由消去y得到x²+（m﹣6）x+n=0，

∴x₁+x₂=6﹣m，x₁x₂=n，

∴n﹣5（6﹣m）+26=0，

∴n=4﹣5m，

∴直线EF解析式为y=mx+4﹣5m=（x﹣5）m+4，

当x=5时，y=4，

∴直线EF过定点N（5，4）．

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