浙江省金丽衢十二校2020届高三数学下学期第二次联考试题（Word版含答案）
浙江省金丽衢十二校2020届高三数学下学期第二次联考试题（Word版含答案）,高三数学下学期第二次联考试题,莲山课件.
2019学年第二学期高三第二次教学质量调测
数学试卷
参考公式：
球的表面积公式 ； 球的体积公式 ，其中 表示球的半径.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知等比数列 满足 ， ，则
A．2 B． C． D．
4．如图，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图
都是矩形，则该几何体的体积为
A． B． C．24 D．36
5．若函数 的图象上存在点 ，满足约束条件 ，则实数 的
取值范围为
A． B． C． D．
6．已知定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数，记
， ，则
A． B． C． D．
7. 甲箱子里装有 个白球和 个红球，乙箱子里装有 个白球和 个红球．从这两个箱子里
分别摸出一个球，设摸出的白球的个数为 ，摸出的红球的个数为 ，则
A． ，且 B． ，且
C. ，且 D． ，且
8．双曲线 的渐近线与抛物线 交于点 ，若抛物线 的焦点恰为 的内心，则双曲线 的离心率为
A． B． C． D．
9．如图，在正方体 中，点 是棱 的中点， （非端点 ）是
棱 上的动点.过点 作截面四边形交棱 于 （非端点 ）.设二面角 的大小为 ，二面角 的大小为 ，二面角 的大小为 ，则
A． B．
C． D．
10.已知两函数 和 都是定义在 上的函数，且方程 有实数解，则 有可能是
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.
11．复数 ， 是虚数单位．若 ，则 ；
若 ，则 ．
12．若 ，则 ； ．
13．已知函数 ，则 =_______；设函数 存在3个零点，则实数 的取值范围是_______.
14．已知圆 ，直线 与 轴交于点 ．若 ，则直线 截圆 所得弦的长度为 ； 若过 上一点 作圆 的切线，切点为 ，且 ，则实数 的取值范围是 ．
15．为了积极稳妥疫情期间的复学工作，市教育局抽调5名机关工作人员去某街道3所不同的学校开展驻点服务，每个学校至少去1人，若甲、乙两人不能去同一所学校，则不同的分配方法种数为 ．
16．在 中 点 是 的外心，则 ．
17．已知 中，角 , , 所对的边分别是 ，且 ，则 的面积的最大值是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本题满分14分）设函数 ，其中 ，且 .
（Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ，求函数 的最大值．
19．（本题满分15分）如图，在 中， ， ， 分别是 的中点.将 沿 折成大小是 的二面角 .
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）求 与平面 所成角的正弦值.
20．（本题满分15分）已知数列 的各项均为正数，其前n项和为 ，对于任意的 ，总有 成等差数列.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
21．（本题满分15分）已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆的上、下顶点分别为 ， 点 是椭圆上异于 的任意一点， 轴， 为垂足， 为线段 中点，直线 交直线 于点 , 为线段 的中点，若四边形 的面积为 ，求直线 的方程．
22．（本题满分15分）已知函数 ， ， ．
（Ⅰ）当 时，求函数 在 上的单调区间；
（Ⅱ）若函数 对任意的 恒成立，求正整数 的最大值.
2019学年第二学期高三第二次教学质量调测
数学参考答案（2020.6）
一、选择题：每小题4分，共40分.
1-10
二、填空题：多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.
11． ， ； 12． 2， 254； 13． 0 ， ； 14． ， ； 15． 114 ； 16． ； 17． ．
9．解析：分别延长 ，显然三线交
于一点 ，则只需比较 与 的
距离大小.或者作出截面 分别在底面、左
侧面、后侧面的投影面，然后比较投影面的大小.
10．解析：因为 ，则 ，故 ，即 ，
这说明方程 有实数解.于是逐一代入检验得： 正确.
另解：特殊法，不妨令 ，则 ，逐一代入检验得：只有 才有解，于是 正确.
17．解析：如图建立坐标系，设 ，点 ，则由 可得： ，这说明点 在以 为圆心， 为半径的圆上（不含 轴上两点），于是 .
（当且仅当 ， ， 取到等号）.
三、解答题：本大题共5小题，共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18．（本题满分14分）（Ⅰ）
——————4分
∵ ，∴ ， ，∴ ， ， —————-6分
∵ ，
浙江省杭州市学军中学等五校2020届高三数学下学期联考试题（Word版含答案）
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∴ ． ——————8分
（Ⅱ）得 ，当 时， ，
∴ ， ——————11分
∴ ． ∴当 时， ．—————14分
19．(本题满分15分) 解：（Ⅰ）不妨设 ，则由题意可知： 且 . ——————2分
于是 ，所以 .
取 的中点 ，连 ，则 .
易得： ，在 中， .
显然， ， ，即 .————–6分
又因为 ， ，而 ，所以 .
——————9分
（Ⅱ）取 之中点 ，连 ，则由平几知识知：四边形 为矩形， 与平面 所成的角就是 与平面 所成的角. ——————12分
显然， 到平面 距离是 ，——————14分
而 ，所以 与平面 所成角的正弦值 .——————15分
说明：利用空间坐标系求解，酌情给分.
20．（本题满分15分）（Ⅰ）解：由已知：对于任意的 ，总有 ①， （ ） ②.
由①-②得： ， ——————3分
即 ，因为 ，所以 （ ）.
——————5分
于是，①令 ，得 ，所以 . ——————7分
（Ⅱ）得 ， ——————9分
则 ．
∴ ， ——————12分
则 ，
错位相减得： ，
化简得： ． ——————15分
21．（本题满分15分）（Ⅰ）由 且 得： ， ，
——————2分
以点 代入 得： ， ，
所以椭圆的标准方程为 ． ——————5分
（Ⅱ）设 ，则 ，且 ．因为 为线段 中点，
所以 ．又 ，所以直线 的方程为 ． ——————7分
因为 令 ，得 ． 又 ， 为线段 的中点，有 ． ——————9分
设直线 与 轴交于 ，
由 得： ，∴ ，
∴ ．
又 ，∴ ，
——————13分
解得： ，代入椭圆方程得： ，∵ ，∴ ，
∴直线 的方程为 ． ——————15分
另法：所以 ． 因此，
= ．从而 ．
因为 ， ，
所以在 中， ，因此 ．
下同法一．
22．（本题满分15分）解：（Ⅰ）显然 ， ，则令 ，解得： 或 . ——————4分
于是 在 上单调递增，在 、 上单调递减.
——————6分
（Ⅱ）由 得： ，令 ，则 .
——————7分
1、若 ，则①当 时，
.
或者由 ，得： ，于是 .
②当 时，对于 而言，
，故 ， ，所以 .
③当 时， . ——————10分
2、若 ，则①当 时，对于 而言，
此时， ， =
显然， 时， ； ， ，故 ，于是 ；
②当 时， . ——————13分
3、若 ，则令 ， ，显然 .
综上所述，正整数 的最大值为3. ——————15分
另法一（必要性优选）分别令 、 ，得 ， ，
解得： ，为此猜想：正整数 的最大值为3. ——————9分
此时 .以下给出证明：此时， ， =
显然， 时， ； ， ，故 ，于是 ； ——————13分
当 时， .
综上所述，正整数 的最大值为3. ——————15分
另法二（优函数）：由 知 ，
——————8分
令 ，则 ，当 即 时， ，于是 . ——————13分
另一方面，当 ，则令 ， ，显然 .
综上所述，正整数 的最大值为3. ——————15分
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