江苏省南京市2020届高三数学第三次模拟试题（含附加题Word版附答案及评分标准）
江苏省南京市2020届高三数学第三次模拟试题（含附加题Word版附答案及评分标准）,高三数学第三次模拟试题,江苏,南京市,莲山课件.
江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试
数学试题
2020．6
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
1．已知集合A＝ ，B＝ ，则A B＝ ．
2．若 （i是虚数单位）是实数，则实数a的值为 ．
3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为 ．
4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．
第4题
第6题
5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 ．
6．已知函数 (其中 ＞0， )部分图象如图所示，则 的值为 ．
7．已知数列 为等比数列，若 ，且 ， ， 成等差数列，则 的前n项和为 ．
8．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 (a＞0，b＞0)的右焦点为F．若以F 为圆心，a为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A，B两点，且AB＝2b，则该双曲线的离心率为 ．
9．若正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A—B1CD1的体积为 ．
10．已知函数 ， ，若 ，则实数x的取值范围为 ．
11．在平面直角坐标系xOy中，A，B是圆O：x2＋y2＝2上两个动点，且 ⊥ ，若A， B两点到直线l：3x＋4y﹣10＝0的距离分别为d1，d2，则d1＋d2的最大值为 ．
12．若对任意a [e， )（e为自然对数的底数），不等式 对任意x R恒成立，则实数b的取值范围为 ．
13．已知点P在边长为4的等边三角形ABC内，满足 ，且 ，延长AP交边BC于点D，若BD＝2DC，则 的值为 ．
14．在△ABC中，∠A＝ ，D是BC的中点．若AD≤ BC，则sinBsinC的最大值为
．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分14分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⏊PD，E， F分别为AD，PB的中点．求证：
（1）EF//平面PCD；
（2）平面PAB⏊平面PCD．
16．（本题满分14分）
已知向量 ＝(cosx，sinx)， ＝(cosx，﹣sinx)，函数 ．
（1）若 ，x (0， )，求tan(x＋ )的值；
（2）若 ， ( ， )， ， (0， )，求 的值．
17．（本题满分14分）
如图，港口A在港口O的正东100海里处，在北偏东方向有条直线航道OD，航道和正东方向之间有一片以B为圆心，半径为 海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中OB＝ 海里，tan∠AOB＝ ，cos∠AOD＝ ，现一艘科考船以 海里/小时的速度从O出发沿OD方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．
（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由；
（2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x小时出发，求x的最小值．
18．（本题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： (a＞b＞0)经过点(﹣2，0)和(1， )，椭圆C上三点A，M，B与原点O构成一个平行四边形AMBO．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点B是椭圆C左顶点，求点M的坐标；
（3）若A，M，B，O四点共圆，求直线AB的斜率．
19．（本题满分16分）
已知函数 (a R)，其中e为自然对数的底数．
（1）若a＝1，求函数 的单调减区间；
（2）若函数 的定义域为R，且 ，求a的取值范围；
（3）证明：对任意a (2，4)，曲线 上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．
20．（本题满分16分）
若数列 满足n≥2时， ，则称数列 (n )为 的“L数列”．
（1）若 ，且 的“L数列”为 ，求数列 的通项公式；
（2）若 (k＞0)，且 的“L数列”为递增数列，求k的取值范围；
（3）若 ，其中p＞1，记 的“L数列”的前n项和为 ，试判断是否存在等差数列 ，对任意n ，都有 成立，并证明你的结论．
江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试
数学附加题
本试卷共40分，考试时间30分钟．
21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵A＝ ，a R．若点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，﹣2)．
（1）求矩阵A；
（2）求点Q(0，3)经过矩阵A的2次变换后对应点Q′的坐标．
B．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （ 为参数），直线l的参数方程为 （t为参数），求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
C．选修4—5：不等式选讲
已知为a，b非负实数，求证： ．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱中ABC—A1B1C1，AB⏊AC，AB＝3，AC＝4，B1C⏊AC1．
（1）求AA1的长；
（2）试判断在侧棱BB1上是否存在点P，使得直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角B—A1C—A的大小相等，并说明理由．
23．（本小题满分10分）
口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n＋1(n )次．若取出白球的累计次数达到n＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为 ．
（1）求 ；
（2）证明： ．
江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试
数学试题
2020．6
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）
1．已知集合A＝ ，B＝ ，则A B＝ ．
答案：(1，4)
考点：集合的并集运算
解析：∵集合A＝ ，B＝ ，
∴A B＝(1，4)．
2．若 （i是虚数单位）是实数，则实数a的值为 ．
答案：2
考点：复数
解析：∵ 是实数，∴实数a的值为2．
3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为 ．
答案：60
考点：分层抽样
解析： ．
4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．
答案：10
考点：伪代码
解析：第一步：i＝1，S＝1；
第一步：i＝2，S＝3；
第一步：i＝3，S＝6；
第一步：i＝4，S＝10；故输出的结果为10．
5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 ．
答案：
考点：随机事件的概率
解析： ．
6．已知函数 (其中 ＞0， )部分图象如图所示，则 的值为 ．
答案：
考点；三角函数的图像与性质
解析：首先 ，解得 ＝1，
又 ， ，∵ ，
∴ ，故 ，所以 ．
7．已知数列 为等比数列，若 ，且 ， ， 成等差数列，则 的前n项和为 ．
答案：
考点：等比数列的前n项和公式，等差中项
解析：∵ ， ， 成等差数列，∴2 ＝ ＋ ＝ ，故q＝2，
∴
8．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 (a＞0，b＞0)的右焦点为F．若以F 为圆心，a为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A，B两点，且AB＝2b，则该双曲线的离心率为 ．
答案：
考点：双曲线的简单性质
解析：由题意知 ，则 ，离心率e＝ ．
9．若正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A—B1CD1的体积为 ．
答案：
考点：正四面体的体积计算
解析：可知三棱锥A—B1CD1是以 为棱长的正四面体，
V＝ ．
10．已知函数 ， ，若 ，则实数x的取值范围为 ．
答案：[2，4]
考点：函数与不等式
解析：首先 ，由 知 ，
当 ，解得 ，故 ，得 ，
∴ ，故实数x的取值范围为[2，4]．
11．在平面直角坐标系xOy中，A，B是圆O：x2＋y2＝2上两个动点，且 ⊥ ，若A， B两点到直线l：3x＋4y﹣10＝0的距离分别为d1，d2，则d1＋d2的最大值为 ．
答案：6
考点：直线与圆综合
解析：取AB中点D，设D到直线l的距离为d，易知：d1＋d2＝2d
⊥ D轨迹为： d1＋d2的最大值为6．
12．若对任意a [e， )（e为自然对数的底数），不等式 对任意x R恒成立，则实数b的取值范围为 ．
答案：[﹣2， )
考点：函数与不等式（恒成立问题）
解析：当 时，显然成立， ；
当 时， ，
，易知： ，故 ；
综上，实数b的取值范围为[﹣2， )．
13．已知点P在边长为4的等边三角形ABC内，满足 ，且 ，延长AP交边BC于点D，若BD＝2DC，则 的值为 ．
答案：
考点：平面向量数量积
解析：A，P，D共线，不妨令
又 ，故 ，
因此 ，
则 ，
故 ．
14．在△ABC中，∠A＝ ，D是BC的中点．若AD≤ BC，则sinBsinC的最大值为
．
答案：
考点：解三角形综合
解析：
．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分14分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⏊PD，E， F分别为AD，PB的中点．求证：
（1）EF//平面PCD；
（2）平面PAB⏊平面PCD．
证明：(1)取PC中点G，连接DG、FG．
在△PBC中，因为F，G分别为PB，PC的中点，所以GF∥BC，GF＝12BC．
因为底面ABCD为矩形，且E为AD的中点，
所以DE∥BC，DE＝12BC，
所以GF∥DE，GF＝DE，所以四边形DEFG为平行四边形，
所以EF∥DG．
又因为EF平面PCD，DG平面PCD，
所以EF∥平面PCD．
(2)因为底面ABCD为矩形，所以CD⊥AD．
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD．
因为PA平面PAD，所以CD⊥PA．
又因为PA⊥PD，PD平面PCD，CD平面PCD，PD∩CD＝D，所以PA⊥平面PCD．
因为PA平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．
16．（本题满分14分）
已知向量 ＝(cosx，sinx)， ＝(cosx，﹣sinx)，函数 ．
（1）若 ，x (0， )，求tan(x＋ )的值；
（2）若 ， ( ， )， ， (0， )，求 的值．
解：(1) 因为向量m＝(cosx，sinx)，n＝(cosx，－sinx)，
所以 f(x)＝m·n＋12＝cos2x－sin2x＋12＝cos2x＋12．
因为f(x2)＝1，所以cosx＋12＝1，即cosx＝12．
又因为x∈(0，π) ，所以x＝π3，
所以tan(x＋π4)＝tan(π3＋π4)＝tanπ3＋ tanπ41－tanπ3tanπ4＝－2－ 3．
(2)若f(α)＝－110，则cos2α＋12＝－110，即cos2α＝－35．
因为α∈(π2，3π4)，所以2α∈(π，3π2)，所以sin2α＝－ 1－cos22α＝－45．
因为sinβ＝7 210，β∈(0，π2)，所以cosβ＝ 1－sin2β＝ 210，
所以cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ＝(－35)× 210－(－45)×7 210＝22．
又因为2α∈(π，3π2)，β∈(0，π2)，所以2α＋β∈(π，2π)，
所以2α＋β的值为7π4．
17．（本题满分14分）
如图，港口A在港口O的正东100海里处，在北偏东方向有条直线航道OD，航道和正东方向之间有一片以B为圆心，半径为 海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中OB＝ 海里，tan∠AOB＝ ，cos∠AOD＝ ，现一艘科考船以 海里/小时的速度从O出发沿OD方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．
（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由；
（2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x小时出发，求x的最小值．
解：如图，以O为原点，正东方向为x轴，正北方向为y轴，建立直角坐标系xOy．
因为OB＝20 13，tan∠AOB＝23，OA＝100，
所以点B(60，40)，且A(100，0)．
(1)设快艇立即出发经过t小时后两船相遇于点C，
则OC＝10 5(t＋2)，AC＝50t．
因为OA＝100，cos∠AOD＝ 55，
所以AC2＝OA2＋OC2－2OA·OC·cos∠AOD，
即(50t)2＝1002＋[10 5(t＋2)]2－2×100×10 5(t＋2)× 55．
化得t2＝4，解得t1＝2，t2＝－2（舍去），
所以OC＝40 5．
因为cos∠AOD＝ 55，所以sin∠AOD＝2 55，所以C(40，80)，
所以直线AC的方程为y＝－43(x－100)，即4x＋3y－400＝0．
因为圆心B到直线AC的距离d＝|4×60＋3×40－400| 42＋32＝8，
安徽省皖南八校2020届高三数学（理）临门一卷试题（Word版附答案）
安徽省皖南八校2020届高三数学（理）临门一卷试题（Word版附答案）,高三数学临门一卷,安徽省,莲山课件.
而圆B的半径r＝8 5，
所以d＜r，此时直线AC与圆B相交，所以快艇有触礁的危险．
答：若快艇立即出发有触礁的危险．
(2)设快艇所走的直线AE与圆B相切，且与科考船相遇于点E．
设直线AE的方程为y＝k(x－100)，即kx－y－100k＝0．
因为直线AE与圆B相切，所以圆心B到直线AC的距离d＝|60k－40－100k| 12＋k2＝8 5，
即2k2＋5k＋2＝0，解得k＝－2或k＝－12．
由（1）可知k＝－12舍去．
因为cos∠AOD＝ 55，所以tan∠AOD＝2，所以直线OD的方程为y＝2x．
由y＝2x， y＝－2(x－100)，解得x＝50，y＝100，所以E(50，100)，
所以AE＝50 5，OE＝50 5，
此时两船的时间差为50 510 5－50 550＝5－ 5，所以x≥5－ 5－2＝3－ 5．
答：x的最小值为(3－ 5)小时．
18．（本题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： (a＞b＞0)经过点(﹣2，0)和(1， )，椭圆C上三点A，M，B与原点O构成一个平行四边形AMBO．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点B是椭圆C左顶点，求点M的坐标；
（3）若A，M，B，O四点共圆，求直线AB的斜率．
解：(1)因为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)过点(－2，0)和 (1，32)，
所以a＝2，1a¬2＋34b2＝1，解得b2＝1，
所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1．
(2)因为B为左顶点，所以B (－2，0)．
因为四边形AMBO为平行四边形，所以AM∥BO，且AM＝BO＝2．
设点M(x0，y0)，则A(x0＋2，y0)．
因为点M，A在椭圆C上，所以x024＋y02＝1， (x0＋2)24＋y02＝1，解得x0＝－1， y0＝±32，
所以M(－1，±32)．
(3) 因为直线AB的斜率存在，所以设直线AB的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由y＝kx＋m，x24＋y2＝1，消去y，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
则有x1＋x2＝－8km1＋4k2，x1x2＝4m2－41＋4k2．
因为平行四边形AMBO，所以OM→＝OA→＋OB→＝(x1＋x2，y1＋y2)．
因为x1＋x2＝－8km1＋4k2，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝k·－8km1＋4k2＋2m＝2m1＋4k2，
所以M(－8km1＋4k2，2m1＋4k2)．
因为点M在椭圆C上，所以将点M的坐标代入椭圆C的方程，
化得4m2＝4k2＋1．①
因为A，M，B，O四点共圆，所以平行四边形AMBO是矩形，且OA⊥OB，
所以OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝0．
因为y1y2＝(kx1＋m)(kx1＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝m2－4 k21＋4k2，
所以x1x2＋y1y2＝4m2－41＋4k2＋m2－4k21＋4k2＝0，化得5m2＝4k2＋4．②
由①②解得k2＝114，m2＝3，此时△＞0，因此k＝±112．
所以所求直线AB的斜率为±112．
19．（本题满分16分）
已知函数 (a R)，其中e为自然对数的底数．
（1）若a＝1，求函数 的单调减区间；
（2）若函数 的定义域为R，且 ，求a的取值范围；
（3）证明：对任意a (2，4)，曲线 上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝exx2－x＋1，
所以函数f(x)的定义域为R，f'(x)＝ex(x－1)(x－2)(x2－x＋1)2．
令f'(x)＜0，解得1＜x＜2，
所以函数f(x)的单调减区间为(1，2)．
(2)由函数f(x)的定义域为R，得x2－ax＋a≠0恒成立，
所以a2－4a＜0，解得0＜a＜4．
方法1
由f(x)＝exx2－ax＋a，得f'(x)＝ex(x－a)(x－2)(x2－ax＋a)2．
①当a＝2时，f(2)＝f(a)，不符题意．
②当0＜a＜2时，
因为当a＜x＜2时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(a，2)上单调递减，
所以f(a)＞f(2)，不符题意．
③当2＜a＜4时，
因为当2＜x＜a时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(2，a)上单调递减，
所以f(a)＜f(2)，满足题意．
综上，a的取值范围为(2，4)．
方法2
由f(2)＞f(a)，得e24－a＞eaa．
因为0＜a＜4，所以不等式可化为e2＞eaa(4－a)．
设函数g(x)＝exx(4－x)－e2， 0＜x＜4．
因为g'(x)＝ex·－(x－2)2×2≤0恒成立，所以g(x)在(0，4)上单调递减．
又因为g(2)＝0，所以g(x)＜0的解集为(2，4)．
所以，a的取值范围为(2，4)．
(3)证明：设切点为(x0，f(x0))，则f'(x0)＝ex0(x0－2)(x0－a)(x02－ax0＋a)2，
所以切线方程为y－ex0x02－ax0＋a＝ex0(x0－2)(x0－a)(x02－ax0＋a)2×(x－x0)．
由0－ex0x02－ax0＋a＝ex0(x0－2)(x0－a)(x02－ax0＋a)2×(0－x0)，
化简得x03－(a＋3)x02＋3ax0－a＝0．
设h(x)＝x3－(a＋3)x2＋3ax－a，a∈(2，4)，
则只要证明函数h(x)有且仅有三个不同的零点．
由(2)可知a∈(2，4)时，函数h(x)的定义域为R，h'(x)＝3×2－2(a＋3)x＋3a．
因为△＝4(a＋3)2－36a＝4(a－32)2＋27＞0恒成立，
所以h'(x)＝0有两不相等的实数根x1和x2，不妨x1＜x2．
因为
x (－∞，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
h’(x) ＋ 0 － 0 ＋
h(x) 增 极大 减 极小 增
所以函数h(x)最多有三个零点．
因为a∈(2，4)，所以h(0)＝－a＜0，h(1)＝a－2＞0，h(2)＝a－4＜0，h(5)＝50－11a＞0，
所以h(0)h(1)＜0，h(1)h(2)＜0，h(2)h(5)＜0．
因为函数的图象不间断，所以函数h(x)在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点．
综上所述，函数h(x)有且仅有三个零点．
20．（本题满分16分）
若数列 满足n≥2时， ，则称数列 (n )为 的“L数列”．
（1）若 ，且 的“L数列”为 ，求数列 的通项公式；
（2）若 (k＞0)，且 的“L数列”为递增数列，求k的取值范围；
（3）若 ，其中p＞1，记 的“L数列”的前n项和为 ，试判断是否存在等差数列 ，对任意n ，都有 成立，并证明你的结论．
解：（1）由题意知， ，所以 ，
所以
即数列 的通项公式为
（2）因为an＝n＋k－3(k＞0)，且n≥2，n∈N*时，an≠0，所以k≠1．
方法1
设bn＝anan＋1，n∈N*，所以bn＝n＋k－3(n＋1)＋k－3＝1－1n＋k－2．
因为{bn}为递增数列，所以bn＋1－bn＞0对n∈N*恒成立，
即1n＋k－2－1n＋k－1＞0对n∈N*恒成立．
因为1n＋k－2－1n＋k－1＝1(n＋k－2)(n＋k－1)，
所以1n＋k－2－1n＋k－1＞0等价于(n＋k－2)(n＋k－1)＞0．
当0＜k＜1时，因为n＝1时，(n＋k－2)(n＋k－1)＜0，不符合题意．
当k＞1时，n＋k－1>n＋k－2>0，所以(n＋k－2)(n＋k－1)＞0，
综上，k的取值范围是(1，＋∞)．
方法2
令f(x)＝1－1x＋k－2，所以f(x)在区间(－∞，2－k)和区间(2－k，＋∞)上单调递增．
当0＜k＜1时，
f(1)＝1－1k－1＞1，f(2)＝1－1k＜1，所以b2＜b1，不符合题意．
当k＞1时，
因为2－k＜1，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以{bn}单调递增，符合题意．
综上，k的取值范围是(1，＋∞)．
（3）存在满足条件的等差数列 ，证明如下：
因为 ，k ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
设 ，则 ，且 ，
所以存在等差数列 满足题意．
江苏省南京市2020届高三年级第三次模拟考试
数学附加题
本试卷共40分，考试时间30分钟．
21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵A＝ ，a R．若点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，﹣2)．
（1）求矩阵A；
（2）求点Q(0，3)经过矩阵A的2次变换后对应点Q′的坐标．
解：(1) 1 －1a 0 11＝0a．
因为点P(1，1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，－2)，所以a＝－2，
所以A＝1 －1－2 0．
(2)因为A＝1 －1－2 0，所以A2＝1 －1－2 0 1 －1－2 0＝3 －1－2 2，
所以A203=3 －1－2 2 03=－36，
所以，点Q′的坐标为(－3，6)．
B．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （ 为参数），直线l的参数方程为 （t为参数），求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．
解：曲线C：(x﹣1)2＋y2＝1，直线l：
圆心C(1，0)到l的距离设为d，
故曲线C上的点到直线l的距离的最大值为 ，即 ．
C．选修4—5：不等式选讲
已知a，b为非负实数，求证： ．
证明：因为a，b为非负实数，
若 时， ，从而 ，
得 ，
若 时， ，从而 ，
得 ，
综上， ．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱中ABC—A1B1C1，AB⏊AC，AB＝3，AC＝4，B1C⏊AC1．
（1）求AA1的长；
（2）试判断在侧棱BB1上是否存在点P，使得直线PC与平面AA1C1C所成角和二面角B—A1C—A的大小相等，并说明理由．
解：（1）直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
又AB，AC 平面ABC，故AA1⊥AB，AA1⊥AC，又AB⊥AC
故以A为原点，{ ， ， }为正交基底建立空间直角坐标系
设AA1＝a＞0，则A1(0，0，a)，C(0，4，0)，B1(3，0，a)，C1(0，4，a)，
＝(﹣3，4，﹣a)， ＝(0，4，a)
因为B1C⊥AC1，故 ，即 ，
又a＞0，故a＝4，即AA1的长为4；
（2）由（1）知：B(3，0，0)，B1(3，0，4)，假设存在，
设 (0，0，4 )， ，
则P(3，0，4 )，则 ＝(3，﹣4，4 )
AB⊥AC，AB⊥AA1，又AC AA1＝A，AC，AA1 平面AA1C1C
所以AB⊥平面AA1C1C，故平面AA1C1C的法向量为 ＝(3，0，0)
设PC与平面AA1C1C所成角为 ，则 ，
设平面BA1C的法向量为 ＝(x，y，z)，平面AA1C的法向量为 ＝(3，0，0)
由（1）知： ＝(0，4，﹣4)， ＝(﹣3，4，0)， ＝(0，4，0)，
，令 ，则 ＝(4，3，3)
设二面角B—A1C—A的大小为 ，则 ，
因为 ，则 ，无解，
故侧棱BB1上不存在符合题意的点P．
23．（本小题满分10分）
口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n＋1(n )次．若取出白球的累计次数达到n＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为 ．
（1）求 ；
（2）证明： ．
解：（1）根据题意，每次取出的球是白球的概率为 ，取出的球是黑球的概率为 ，
所以 ；
（2）证明：累计取出白球次数是n +1的情况有：
前n次取出n次白球，第n +1次取出的是白球，概率为
前n+1次取出n次白球，第n +2次取出的是白球，概率为
前2n﹣1次取出n次白球，第2n次取出的是白球，概率为
前2n次取出n次白球，第2n +1次取出的是白球，概率为
则
因此
则
因为 ，
所以 ，因此 ．
安徽省皖南八校2020届高三数学（文）临门一卷试题（Word版附答案）
安徽省皖南八校2020届高三数学（文）临门一卷试题（Word版附答案）,高三数学临门一卷,安徽省,莲山课件.
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