第一次月考数学试题
一．选择题（共12小题）
1．若两条平行线被第三条直线所截，则一组同位角的平分线互相（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交
2．如图，已知直线a∥b，∠1=40°，∠2=60°，则∠3等于（ ）
A．100° B．90° C．70° D．50°
3．如图，下列各组角中，是对顶角的一组是（ ）
A．∠1和∠2 B．∠2和∠3 C．∠2和∠4 D．∠1和∠5
4．如图，点E在BC的延长线上，由下列条件不能得到AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠B=∠DCE C．∠3=∠4 D．∠D+∠DAB=180°
5．下列各数：，，，，，0.101001…（每两个1之间的0逐渐增加一个），中，无理数有（ ）个．
A．3 B．4 C．2 D．1
6．下列各式中，正确的是（ ）
A． =±4 B． C． D．
7．的平方根是（ ）
A．±2 B．2 C．±4 D．4
8．如图，数轴A、B上两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．ab=0 C．﹣＜0 D． +＞0
9．正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2018次后，数轴上数2018所对应的点是（ ）
A．点C B．点D C．点A D．点B
10．如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（ ）
A．∠1=180°﹣∠3 B．∠1=∠3﹣∠2
C．∠2+∠3=180°﹣∠1 D．∠2+∠3=180°+∠1
11．如图，直线AB与CD相交于E，在∠CEB的平分线上有一点F，FM∥AB．当∠3=10°时，∠F的度数是（ ）
A．80° B．82° C．83° D．85°
12．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[]=1，[﹣2.5]=﹣3．现对82进行如下操作：
82 []=9 []=3 []=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共4小题）
13．如果a，b分别是2016的两个平方根，那么a+b﹣ab= ．
14．定义“如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，数i叫做虚数单位，我们把形如a+bi（a，b为有理数或无理数）的数称为复数，它们的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法类似，例如：计算（2+3i）（3﹣2i）=6﹣4i+9i﹣6i2=6+5i+6=12+5i，计算（﹣3+4i）（3+4i）= ．
15．如图，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 个单位．
16．如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF，若6°＜∠BAE＜15°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为 ．
三．解答题（共7小题）
17．如图，已知AB∥CD，∠B=40°，CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数．
18．填空并完成推理过程．
如图，E点为DF上的点，B点为AC上的点，∠1=∠2，∠C=∠D，试说明：AC∥DF．
解：∵∠1=∠2，（已知）
∠1=∠3（ ）
∴∠2=∠3，（等量代换）
∴ ∥ ，（ ）
∴∠C=∠ABD，（ ）
又∵∠C=∠D，（已知）
∴∠D=∠ABD，（ ）
∴AC∥DF．（ ）
19．计算题
（1）（+3）（﹣3）﹣
（2）+（﹣）×
20．已知2a﹣1的平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+2b+c的算术平方根．
21．阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
请解答下列问题：
（1）求出+2的整数部分和小数部分；
（2）已知：10+=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请你求出（x﹣y）的相反数．
22．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，A、B、C三点的坐标分别为A（﹣1，3）、B（﹣4，1）、C（﹣2，1），把△ABC向右平移4个单位长度后得到对应的△A1B1C1，再将△A1B1C1向下平移5个单位长度后得到对应的△A2B2C2．
（1）分别作出△A1B1C1和△A2B2C2；
（2）求△A2B2C2的面积．
23．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．
（1）填空：∠BAN= °；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．若两条平行线被第三条直线所截，则一组同位角的平分线互相（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交
【解答】已知：AB∥CD，PM与QN分别平分∠EMB与∠MND．
求证：PM∥QN．
证明：∵AB∥CD，
∴∠EMB=∠MND，
∵PM与QN分别平分∠EMB与∠MND，
∴∠1=∠EMB，∠2=∠MND，
∴∠1=∠2，
∴PM∥QN．
故选：B．
2．如图，已知直线a∥b，∠1=40°，∠2=60°，则∠3等于（ ）
A．100° B．90° C．70° D．50°
【解答】解：过点C作CD∥a，
∵a∥b，
∴CD∥a∥b，
∴∠ACD=∠1=40°，∠BCD=∠2=60°，
∴∠3=∠ACD+∠BCD=100°．
故选：A．
3．如图，下列各组角中，是对顶角的一组是（ ）
A．∠1和∠2 B．∠2和∠3 C．∠2和∠4 D．∠1和∠5
【解答】解：由对顶角的定义可知：∠3和∠5是一对对顶角，∠2和∠4是一对对顶角．
故选：C．
4．如图，点E在BC的延长线上，由下列条件不能得到AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠B=∠DCE C．∠3=∠4 D．∠D+∠DAB=180°
【解答】解：A、正确，符合内错角相等，两条直线平行的判定定理；
B、正确，符合同位角相等，两条直线平行的判定定理；
C、错误，若∠3=∠4，则AD∥BE；
D、正确，符合同旁内角互补，两条直线平行的判定定理；
故选：C．
5．下列各数：，，，，，0.101001…（每两个1之间的0逐渐增加一个），中，无理数有（ ）个．
A．3 B．4 C．2 D．1
【解答】解：是有理数，是无理数， =3是有理数， =2是无理数， =11是有理数，0.101001…（每两个1之间的0逐渐增加一个）是无理数．
故选：A．
6．下列各式中，正确的是（ ）
A． =±4 B． C． D．
【解答】解： =4，故A错误；
﹣=2，故B错误；
±=±3，故C错误；
=3，故D正确．
故选：D．
7．的平方根是（ ）
A．±2 B．2 C．±4 D．4
【解答】解：∵=4，4的平方根为±2，
∴的平方根为±2．
故选：A．
8．如图，数轴A、B上两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（ ）
A．a+b＞0 B．ab=0 C．﹣＜0 D． +＞0
【解答】解：A、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴|b|＞|a|，∴a+b＜0，故选项A错误；
B、∵b＜0＜a，∴ab＜0，故选项B错误；
C、∵b＜0＜a，∴﹣＞0，故选项C错误；
D、∵b＜﹣1＜0＜a＜1，∴+＞0，故选项D正确．
故选：D．
9．正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2018次后，数轴上数2018所对应的点是（ ）
A．点C B．点D C．点A D．点B
【解答】解：当正方形在转动第一周的过程中，1所对应的点是A，2所对应的点是B，3所对应的点是C，4所对应的点是D，
∴四次一循环，
∵2018÷4=504…2，
∴2018所对应的点是B．
故选：D．
10．如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（ ）
A．∠1=180°﹣∠3 B．∠1=∠3﹣∠2
C．∠2+∠3=180°﹣∠1 D．∠2+∠3=180°+∠1
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠2+∠BDC=180°，即∠BDC=180°﹣∠2，
∵EF∥CD，
∴∠BDC+∠1=∠3，即∠BDC=∠3﹣∠1，
∴180°﹣∠2=∠3﹣∠1，即∠2+∠3=180°+∠1，
故选：D．
11．如图，直线AB与CD相交于E，在∠CEB的平分线上有一点F，FM∥AB．当∠3=10°时，∠F的度数是（ ）
A．80° B．82° C．83° D．85°
【解答】解：∵∠3=10°，
∴∠AEC=10°，
∴∠BEC=180°﹣10°=170°，
∵EN平分∠CEB，
∴∠2=85°，
∵FM∥AB，
∴∠F=∠2=85°，
故选：D．
12．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[]=1，[﹣2.5]=﹣3．现对82进行如下操作：
82 []=9 []=3 []=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：121 []=11 []=3 []=1，
∴对121只需进行3次操作后变为1，
故选：C．
二．填空题（共4小题）
13．如果a，b分别是2016的两个平方根，那么a+b﹣ab= 2016 ．
【解答】解：∵a，b分别是2016的两个平方根，
∴a=，b=﹣，
∵a，b分别是2016的两个平方根，
∴a+b=0，
∴ab=a×（﹣a）=﹣a2=﹣2016，
∴a+b﹣ab=0﹣（﹣2016）=2016，
故答案为：2016．
14．定义“如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=﹣1，数i叫做虚数单位，我们把形如a+bi（a，b为有理数或无理数）的数称为复数，它们的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法类似，例如：计算（2+3i）（3﹣2i）=6﹣4i+9i﹣6i2=6+5i+6=12+5i，计算（﹣3+4i）（3+4i）= ﹣25 ．
【解答】解：（﹣3+4i）（3+4i）=16i2﹣9=﹣16﹣9=﹣25；
故答案为：﹣25．
15．如图，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为 8 个单位．
【解答】解：根据题意，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
故四边形ABFD的边长分别为AD=1个单位，BF=3个单位，AB=DF=2个单位；
故其周长为8个单位．
故答案为：8．
16．如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF，若6°＜∠BAE＜15°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为 36°或37° ．
【解答】解：如图，过E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴GE∥CD，
∴∠BAE=∠AEG，∠DFE=∠GEF，
∴∠AEF=∠BAE+∠DFE，
设∠CEF=x，则∠AEC=2x，
∴x+2x=∠BAE+60°，
∴∠BAE=3x﹣60°，
又∵6°＜∠BAE＜15°，
∴6°＜3x﹣60°＜15°，
解得22°＜x＜25°，
又∵∠DFE是△CEF的外角，∠C的度数为整数，
∴∠C=60°﹣23°=37°或∠C=60°﹣24°=36°，
故答案为：36°或37°．
三．解答题（共7小题）
17．如图，已知AB∥CD，∠B=40°，CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B=40°，
∴∠BCE=180°﹣∠B=180°﹣40°=140°，
∵CN是∠BCE的平分线，
∴∠BCN=∠BCE=×140°=70°，
∵CM⊥CN，
∴∠BCM=20°．
18．填空并完成推理过程．
如图，E点为DF上的点，B点为AC上的点，∠1=∠2，∠C=∠D，试说明：AC∥DF．
解：∵∠1=∠2，（已知）
∠1=∠3（ 对顶角相等 ）
∴∠2=∠3，（等量代换）
∴ DB ∥ EC ，（ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠C=∠ABD，（ 两直线平行，同位角相等 ）
又∵∠C=∠D，（已知）
∴∠D=∠ABD，（ 等量代换 ）
∴AC∥DF．（ 内错角相等，两直线平行 ）
【解答】解：∵∠1=∠2，（已知）
∠1=∠3（对顶角相等）
∴∠2=∠3，（等量代换）
∴DB∥EC，（ 同位角相等，两直线平行）
∴∠C=∠ABD，（ 两直线平行，同位角相等）
又∵∠C=∠D，（已知）
∴∠D=∠ABD，（ 等量代换）
∴AC∥DF．（ 内错角相等，两直线平行）
故答案为：对顶角相等，DB，EC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，等量代换，内错角相等，两直线平行．
19．计算题
（1）（+3）（﹣3）﹣
（2）+（﹣）×
【解答】解：（1）原式=（）2﹣32﹣（﹣3）=14﹣9+3=8；
（2）原式=×+×﹣×，
=6+5﹣6，，
=5．
20．已知2a﹣1的平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a+2b+c的算术平方根．
【解答】解：由题意得，2a﹣1=9，得a=5；3a+b﹣9=8，得b=2，
∵，
∴c=±7，
∴a+2b+c=16或2，
16的算术平方根为4；2的算术平方根是；
21．阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
请解答下列问题：
（1）求出+2的整数部分和小数部分；
（2）已知：10+=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，请你求出（x﹣y）的相反数．
【解答】解：（1）∵1＜＜2，
∴3＜+2＜4，
∴+2的整数部分是1+2=3， +2的小数部分是﹣1；
（2）∵2＜＜3，
∴12＜10+＜13，
∴10+的整数部分是12，10+的小数部分是10+﹣12=﹣2，
即x=12，y=﹣2，
∴x﹣y=12﹣（﹣2）=12﹣+2=14﹣，
则x﹣y的相反数是﹣14．
22．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，A、B、C三点的坐标分别为A（﹣1，3）、B（﹣4，1）、C（﹣2，1），把△ABC向右平移4个单位长度后得到对应的△A1B1C1，再将△A1B1C1向下平移5个单位长度后得到对应的△A2B2C2．
（1）分别作出△A1B1C1和△A2B2C2；
（2）求△A2B2C2的面积．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1和△A2B2C2，即为所求；
（2）△A2B2C2的面积为：×2×2=2．
23．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．
（1）填空：∠BAN= 60 °；
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，
∴∠BAN=180°×=60°，
故答案为：60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD=∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM=∠BDA，
∴∠CAM=∠PBD
∴2t=1•（30+t），
解得 t=30；
②当90＜t＜150时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA=180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN=∠BDA
∴∠PBD+∠CAN=180°
∴1•（30+t）+（2t﹣180）=180，
解得 t=110，
综上所述，当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．
理由：设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN=180°﹣2t，
∴∠BAC=60°﹣（180°﹣2t）=2t﹣120°，
又∵∠ABC=120°﹣t，
∴∠BCA=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣t，而∠ACD=120°，
∴∠BCD=120°﹣∠BCD=120°﹣（180°﹣t）=t﹣60°，
∴∠BAC：∠BCD=2：1，
即∠BAC=2∠BCD，
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．
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