江西省吉安、抚州、赣州市2020届高三数学（理）一模试题（Word版附答案）
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抚州市2020年高中毕业班教学质量监测卷
文科数学
说明：
1.全卷满分150分，考试时间120分钟。
2.全卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分。
第I卷(选择题共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U＝{－1，0，1，2，3，4}，集合A＝{－1，1，2，4}，集合B＝{x∈N|y＝ }，则A∩( B)＝
A.{－1，2，3，4} B.{－1，4} C.{－1，2，4} D.{0，1}
2.已知i为虚数单位，z· ＝1＋2i，则复数z的虚部是
A. B. i C. i D.
3.已知等差数列{an}满足a2＋a4＝6，a5＋a7＝10，则a18＝
A.12 B.13 C. D.
4.已知a，b∈R，则“a＋2b＝0″是“ ＝－2”成立的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5. 的大小关系是
A. B.
C. D.
6.已知tan(α＋ )＝ ，则sin(2α＋ )＝
A. B.－ C. D.－
7.设x，y∈R，a＝(x，1)，b＝(2，y)，c＝(－2，2)，且a⊥c，b//c，则|2a＋3b－c|＝
A.2 B. C.12 D.2
8.设函数f(x)＝ex＋2x－4的零点a∈(m，m＋1)，函数g(x)＝lnx＋2×2－5的零点b∈(n，n＋1)，其中m∈N，n∈N，若过点A(m，n)作圆(x－2)2＋(y－1)2＝1的切线l，则l的方程为
A.y＝ B.y＝± x＋1 C.y＝1 D.x＝0，y＝1
9.若点(x，y)在不等式组 表示的平面区域内，则实数z＝ 的取值范围是
A.[－1，1] B.[－2，1] C.[－ ，1] D.[－1， ]
10.已知三棱锥A－BCD的顶点均在球O的球面上，且AB＝AC＝AD＝ ，∠BCD＝π，若H是点A在平面BCD内的正投影，且CH＝ ，则球O的表面积为
A.4 π B.2 π C.9π D.4π
11.函数f(x)＝lnx－ x2的大致图像是
12.已知点F为双曲线E： 的右焦点，若在双曲线E的右支上存在点P，使得PF中点到原点的距离等于点P到点F的距离，则双曲线E的离心率的取值范围是
A.(1，3) B.(1，3] C.(1， ] D.[ ，3]
第II卷(非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两个部分。第13～21题为必考题，每个考生都必须作答第22～23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.中华文化博大精深，丰富多彩。“纹样”是中华艺术宝库的瑰宝之一，“组合花纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某组合花纹(如图阴影部分所示)的面积，作一个半径为1的圆将其包含在内，并向该圆内随机投掷1000个点，已知恰有600个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是 。
14.抛物线y＝ax2(a>0)的焦点与椭圆 的一个焦点相同，则抛物线的准线方程是 。
15.已知函数f(x)＝ ，对任意x1，x2∈(－∞，＋∞)，都有 ，则实数a的取值范围为 。
16.在三角形ABC中，|AB|＝2，且角A，B，C满足 ＝ cos2(A＋B)，三角形ABC的面积的最大值为M，则M＝ 。
三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分。
17.(本小题满分12分)千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状走向速度厚度颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的200天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表：
参考公式：
(1)根据上面的列联表判断，能否有99%的把握认为“当晚下雨”与“‘日落云里走’出现”有关?
(2)小波同学为进一步认识其规律，对相关数据进行分析，现从上述调查的“夜晚未下雨”天气中按分层抽样法抽取4天，再从这4天中随机抽出2天进行数据分析，求抽到的这2天中仅有1天出现“日落云里走”的概率。
18.(本小题满分12分)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S7＝49，a2＋a8＝18。
(1)求数列{an}的通项公式
(2)若S3、a17、Sm成等比数列，求S3m。
19.(本小题满分12分)如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为对角线的交点，E为PD上的一点，PD⊥平面ABE，PA⊥平面ABCD，且PA＝2，AB＝1，AC＝ 。
(1)求证：AB⊥AD。
(2)求三棱锥P－ABE的体积。
20.(本小题满分12分)已知离心率为 的椭圆C： 的左顶点为A，左焦点为F，及点P(－4，0)，且|OF|，|OA|，|OP|成等比数列。
(1)求椭圆C的方程
(2)斜率不为0的动直线l过点P且与椭圆C相交于M、N两点，记 ，线段MN上的点Q满足 ，试求△OPQ(O为坐标原点)面积的取值范围。
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnx－ax。
(1)若函数f(x)在定义域上的最大值为1，求实数a的值
(2)设函数h(x)＝(x－2)ex＋f(x)，当a≥1时，h(x)≤b对任意的x∈( ，1)恒成立，求满足条件的实数b的最小整数值。
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.(本小题满分10分)选修4－4：极坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 (t为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(θ－ )－ ＝0。
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程。
(2)设点P是圆C上任一点，求点P到直线l距离的最小值
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－2|－x－1，函数g(x)＝－|x－4|－x＋2m－1。
(1)当f(x)>0时，求实数x的取值范围。
(2)当g(x)与f(x)的图像有公共点时，求实数m的取值范围。
2020年高三质量监测文科数学参考答案
1. 【答案】B.
解析: 依题意可知， ， ，所以 ，
所以 . 故选B.
2. 【答案】D
解析: ，所以 的虚部是 . 故选D.
3. 【答案】B
解析: 由题意，设公差为d，则 ，解得 ，
所以 ，故选B.
（巧解）由题意，数列 是等差数列，可得 ，所以 ， ，故选B.
4. 【答案】B.
解析:当 成立时，不妨设 ，此时不满足 ，所以不是充分条件；当 ，
河北省武邑中学2020届高三数学（文）下学期第二次质检试题（Word版附解析）
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则有 ，即 ，所以是必要条件. 故选B.
5. 【答案】D.
解析： ， ，
所以
6. 【答案】D.
解析：设 ，则 ，∵ ，
∴
7. 【答案】A.
解析:
.
8. 【答案】A.
解析: 依题意，f(0)＝－3＜0，f(1)＝e－2＞0，且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点a∈(0,1)，g(1)＝－3＜0，g(2)＝ln 2＋3＞0，且函数g(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此函数g(x)的零点b∈(1,2)，于是 ．设切线l的方程为 故由点线距离公式或平面几何知识，可得 选A.
9. 【答案】C.
解析:
由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示，其中 ， ，
设 表示定点 与 连线的斜率，显然 ，
故 ，选C.
10. 【答案】 C.
解析: 因为 ，所以由三角形全等可得 ，
即 是 的外心，即 是斜边 的中点，则球心O在 上，由勾股定理可得 ，得 ，设球O的半径为 ，则 ，所以 . 所以球O的体积为 ，故选C.
11. 【答案】A.
解析：因为f ′(x)＝1x－ x＝2－x22x(x>0)，所以当0 0，当x> 时，f ′(x)<0> 12. 【答案】 B.
解析: 设 中点为 ，双曲线 的左焦点为 ，由题意知 ，
当点 异于双曲线 的右顶点时，连接 ，
则由三角形中位线性质，可得 ，
且 ，则 ，又因为 ，由三角形任意两边之和大于第三边可得， ，即 .
当点 是双曲线 的右顶点时，则 ， ，
由题意得 ，即 .
综上，得 故选B.
（填空题按照高考细则，答案不完整，不给分）
13. 【答案】 .
解析： 半径为1的圆的面积 ，设阴影部分的面积为S阴，
∵该圆内随机投掷1000个点，已知恰有600个点落在阴影部分，
∴ ，解得S阴
∴估计阴影部分的面积是 ．
14.【答案】 .
解析：∵椭圆 的焦点为 ，抛物线 的焦点坐标为 ，∴ 抛物线的准线方程是 .
15. 【答案】 .
解析: 由题意， 在 上单调递增， ，解得 .
16. 【答案】
解析: ，即
因为
，
即 ，解得 ，所以 ，
设 分别为角 的对边，
由余弦定理得 ，即 .
又因为 ，即 ，当且仅当 时等号成立.
所以三角形ABC的面积
17．（本小题满分12分）
解析：（1）根据列联表,计算 ， ……………………… 5分
所以有 的把握认为“当晚下雨”与“‘日落云里走’出现”有关. …… 6分
（2）从“夜晚未下雨”天气中按分层抽样法抽取4天，则从出现“日落云里走”的天气中应抽取1天，从未出现“日落云里走”的天气中应抽取3天. .…………9分
随机抽出2天，总的情况数为6种，仅有1天出现“日落云里走”的情况数为3种，所以根据古典概型的公式得 ． ……………………12分
18．（本小题满分12分）
解析:（1）设等差数列 的公差为 ，
为等差数列 的前 项和， ， ．
∴ ，解得 ，…………………………4分
. .…………………………6分
（2）由（1）知 ． …………………………8分
、 、 成等比数列， ， …………………………9分
即 ，解得 ， …………………………11分
因此， .…………………………12分
19.（本小题满分12分）
解析: (1)
……………………2分 …………………4分
且
. …………………………6分
(2) 由（1）知底面 为长方形， ，
所以E为PD的中点， ………………………7分
又 ， 平面 ，
……………………9分
.…………………………12分
20. （本小题满分12分）
解析：（1）依题意： ，解得 ， ……… 4分
所以椭圆 的方程是 ； ……………… 5分
（2）解法一：
设 ，则 ，
相减得： ……(*) ………………7分
又由 ，知 ， ，
由 ，知 ， ， ……………… 9分
代入(*)式得： ，即 ， ……………… 10分
又因为点 在椭圆内，所以 ， ……………… 11分
所以△ 的面积 . ……………… 12分
解法二：设 ，则 ， ，
……………… 7分
设直线 的方程为 ，代入椭圆 的方程得：
，由△ 得 ， . ……………… 8分
所以 ，消去 得到 ，
所以 , ……………… 11分
因此 △ 的面积 . ……………… 12分
解法三：设直线 的方程为 ，代入椭圆 的方程得：
，由△ 得 ， . ……………… 6分
所以 ， ， ……………… 7分
，
原点 到直线 的距离 ……………… 9分
所以△ 的面积
因为 ，所以 .
……………… 12分
21.（本小题满分12分）
解析：（1）由题意，函数的定义域为 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
在定义域上无最大值. .…………………………2分
当 时，令 ， ,
由 ，得 ， ， ,
的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ,……4分
所以函数
即 为所求. .…………………………6分
（2）由 ，因为 对任意的 恒成立，
即 ，当 时，对任意的 恒成立，
， .
,
只需 对任意的 恒成立即可. …………………9分
构造函数 , ,
， ,且 单调递增，
， , 一定存在唯一的 ，使得
即 ， . 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
,
的最小整数值为 . .……………………12分
22．（本小题满分10分）选修4─4： 极坐标系与参数方程
解析：（1）由 消去参数 ，得 ，
所以圆 的普通方程为 . .………………………2分
由 ，得 ， .………………………3分
所以直线 的直角坐标方程为 . .………………………5分
（2）设点 的坐标为 ，则点 到直线 的距离为
， .………………8分
当 时， 取最小值， . .…………10分
23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲
解析：（1）当 时，即 ………………………1分
即有 或 ，即x∈Ø或x ， ..………………4分
故实数x的取值范围为（﹣∞， ）； ..………………………5分
（2）因为函数 与函数 的图像有公共点，
则 有解. ..………………………6分
即2 有解, ..………………………7分
所以 .
所以当 与 的图像有公共点时， 的取值范围为 .
..………………………10分
河北省武邑中学2020届高三数学（理）下学期第二次质检试题（Word版附解析）
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