山东省东营市第一中学2020届高三数学下学期第三次质检试题（Word版附解析）

8.《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵 中， ， ，当阳马 体积的最大值为 时，堑堵 的外接球的体积为（    ）
 
A.      B.      C.      D.  
【答案】B
【解析】
【分析】
利用均值不等式可得 ,即可求得 ,进而求得外接球的半径,即可求解.
【详解】由题意易得 平面 ,
所以 ,
当且仅当 时等号成立,
又阳马 体积的最大值为 ,
所以 ,
所以堑堵 的外接球的半径 ,
所以外接球的体积 ,
故选:B
【点睛】本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养.
二、多项选择题
9.下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递增的是（    ）
A.      B.  
C.      D.  
【答案】BC
【解析】
【分析】
易知A,B,C,D四个选项中的函数的定义域均为 ,先利用 与 的关系判断奇偶性,再判断单调性,即可得到结果.
【详解】由题,易知A,B,C,D四个选项中的函数的定义域均为 ,
对于选项A, ,则 为奇函数,故A不符合题意；
对于选项B, ,即 为偶函数,
当 时,设 ,则 ,由对勾函数性质可得,当 时是增函数,又 单调递增,所以 在 上单调递增,故B符合题意；
对于选项C, ,即 为偶函数,由二次函数性质可知对称轴为 ,则 在 上单调递增,故C符合题意；
对于选项D,由余弦函数的性质可知 是偶函数,但在 不恒增,故D不符合题意；
故选:BC
【点睛】本题考查由解析式判断函数的奇偶性和单调性,熟练掌握各函数的基本性质是解题关键.
10.已知 的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（    ）
A. 展开式中奇数项的二项式系数和为256
B. 展开式中第6项的系数最大
C. 展开式中存在常数项
D. 展开式中含 项的系数为45
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知 ,由展开式的各项系数之和为1024可得 ,则二项式为 ,易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同,利用二项式系数的对称性判断A,B；根据通项判断C,D即可.
【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知 ,
又展开式的各项系数之和为1024,即当 时, ,所以 ,
所以二项式为 ,
则二项式系数和为 ,则奇数项的二项式系数和为 ,故A错误；
由 可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,
因为 与 的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；
若展开式中存在常数项,由通项 可得 ,解得 ,故C正确；
由通项 可得 ,解得 ,所以系数为 ,故D正确,
故选: BCD
【点睛】本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能力.
11.在 中，D在线段 上，且 若 ，则（    ）
A.      B.  的面积为8
C.  的周长为     D.  为钝角三角形
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由同角的三角函数关系即可判断选项A；设 ,则 ,在 中,利用余弦定理求得 ,即可求得 ,进而求得 ,即可判断选项B；在 中,利用余弦定理求得 ,进而判断选项C；由 为最大边,利用余弦定理求得 ,即可判断选项D.
【详解】因为 ,所以 ,故A错误；
设 ,则 ,在 中, ,解得 ,所以 ,
所以 ,故B正确；
因为 ,所以 ,
在 中, ,解得 ,
所以 ,故C正确；
因为 为最大边,所以 ,即 为钝角,所以 为钝角三角形,故D正确.
故选:BCD
【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,考查三角形面积的公式的应用,考查判断三角形的形状.
12.如图，在四棱锥 中， 底面 ，四边形 是直角梯形， ，F是 的中点，E是 上的一点，则下列说法正确的是（    ）
 
A. 若 ，则 平面
B. 若 ，则四棱锥 的体积是三棱锥 体积的6倍
C. 三棱锥 中有且只有三个面是直角三角形
D. 平面 平面
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用中位线的性质即可判断选项A；先求得四棱锥 的体积与四棱锥 的体积的关系,再由四棱锥 的体积与三棱锥 的关系进而判断选项B；由线面垂直的性质及勾股定理判断选项C；先证明 平面 ,进而证明平面 平面 ,即可判断选项D.
【详解】对于选项A,因为 ,所以 是 的中点,
因为F是 的中点,所以 ,
因为 平面 , 平面 ,所以 平面 ,故A正确；
对于选项B,因为 ,所以 ,
因为 ,
所以梯形 的面积为 , ,所以 ,
所以 ,故B错误；
对于选项C,因为 底面 ,所以 , ,所以 , 为直角三角形,
又 ,所以 ,则 为直角三角形,
所以 , ,
则 ,所以 是直角三角形,
故三棱锥 的四个面都是直角三角形,故C错误；
对于选项D,因为 底面 ,所以 ,
在 中, ,
在直角梯形 中, ,
所以 ,则 ,
因为 ,所以 平面 ,
所以平面 平面 ,故D正确,
故选:AD
【点睛】本题考查线面平行的判定,考查面面垂直的判断,考查棱锥的体积,考查空间想象能力与推理论证能力.
三、填空题
13.已知向量 ， ，且 ，则实数m的值是________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据 即可得出 ，从而求出m的值．
【详解】解：∵ ；
∴ ；
∴m＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．
14.已知数列 的前 项和公式为 ，则数列 的通项公式为___．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意，根据数列的通项 与前n项和 之间的关系，即可求得数列的通项公式．
【详解】由题意，可知当 时， ；
当 时， .
又因为 不满足 ，所以 .
【点睛】本题主要考查了利用数列的通项 与前n项和 之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项 与前n项和 之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
15.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.若两颗星的星等与亮度满足 .其中星等为 ，星的亮度为  . 若 ，则 ________； 若太阳的星等是 ，天狼星的星等是 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为_______.
【答案】    (1).  ；    (2).  .
【解析】
【分析】
 把已知数据代入 中，求解即可；
 把数据代入，化简后利用对数 运算性质求解.
【详解】解： 把 代入 中，得到  .
 设太阳的星等是 ，设天狼星的星等是 ，
由题意可得： ，
所以 ，则 .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查对数的运算性质，属于基础题.
16.设定义域为 的函数 满足 ，则不等式 的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据条件构造函数F（x） ，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．
【详解】设F（x） ，
则F′（x） ，

宁夏中卫市2020届高三数学（理）下学期第二次模拟试题（Word版附解析）

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∵ ，
∴F′（x）＞0，即函数F（x）在定义域上单调递增．
∵
∴ ，即F（x）＜F（2x ）
∴ ，即x＞1
∴不等式 的解为
故答案为
【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．
四、解答题
17.已知函数 （k为常数， 且 ）．
（1）在下列条件中选择一个________使数列 是等比数列，说明理由；
①数列 是首项为2，公比为2的等比数列；
②数列 是首项为4，公差为2的等差数列；
③数列 是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列．
（2）在（1）的条件下，当 时，设 ，求数列 的前n项和 .
【答案】（1）②，理由见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）选②，由 和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论；
（2）运用等比数列的通项公式可得 ，进而得到 ，由数列的裂项相消求和可得所求和.
【详解】（1）①③不能使 成等比数列.②可以：由题意 ，
即 ，得 ，且 ， .
 常数 且 ， 为非零常数，
 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列．
（2）由（1）知 ，所以当 时， .
因为 ，
所以 ，所以 ，
  .
【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题.
18.已知函数 在 上的最大值为3.
（1）求 的值及函数 的单调递增区间;
（2）若锐角 中角 所对的边分别为 ，且 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ,函数 的单调递增区间为 ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）运用降幂公式和辅助角公式，把函数的解析式化为正弦型函数解析式形式，根据已知，可以求出 的值，再结合正弦型函数的性质求出函数 的单调递增区间;
（2）由（1）结合已知 ，可以求出角 的值，通过正弦定理把问题 的取值范围转化为两边对角的正弦值的比值的取值范围，结合已知 是锐角三角形，三角形内角和定理，最后求出 的取值范围.
【详解】解：（1）
 
由已知 ，所以                                
因此
令
得
因此函数 的单调递增区间为  
（2）由已知 ，∴
由 得 ，因此
所以                                              
 
因为为锐角三角形 ，所以 ，解得
因此 ，那么
【点睛】本题考查了降幂公式、辅助角公式，考查了正弦定理，考查了正弦型三角函数的单调性，考查了数学运算能力.
19.如图，已知四棱锥 的底面是等腰梯形， ， ， ， ， 为等边三角形，且点P在底面 上的射影为 的中点G，点E在线段 上，且 .
 
（1）求证： 平面 .
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）由等腰梯形的性质可证得 ,由射影可得 平面 ,进而求证；
（2）取 的中点F,连接 ,以G为原点, 所在直线为x轴, 所在直线为y轴, 所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面 与平面 的法向量,再利用数量积求解即可.
【详解】（1）在等腰梯形 中,
 点E在线段 上,且 ,
 点E为 上靠近C点的四等分点,
  , , ,
  ,
 点P在底面 上的射影为 的中点G,连接 ,
 平面 ,
 平面 , .
又 , 平面 , 平面 ,
 平面 .
 
（2）取 的中点F,连接 ,以G为原点, 所在直线为x轴, 所在直线为y轴, 所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
 
由（1）易知, , ,
又 , ,
 , 为等边三角形, ,
则 , , , , ,
 , , , ,
设平面 的法向量为 ,
则 ，即 ,
令 ,则 , , ,
设平面 的法向量为 ,
则 ,即 ,
令 ,则 , , ,
设平面 与平面 的夹角为θ,则
 
 二面角 的余弦值为 .
【点睛】本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力与空间想象能力.
20.某单位准备购买三台设备，型号分别为 已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品，每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各60台，调査每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示.
每台设备一个月中使用的易耗品的件数    6    7    8
    型号A    30    30    0
频数    型号B    20    30    10
    型号C    0    45    15

将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立.
（1）求该单位一个月中 三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；
（2）以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是21件易耗品？
【答案】（1） （2）应该购买21件易耗品
【解析】
【分析】
（1）由统计表中数据可得型号分别为 在一个月使用易耗品的件数为6,7,8时的概率,设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,则 ,利用独立事件概率公式进而求解即可；
（2）由题可得X所有可能的取值为 ,即可求得对应的概率,再分别讨论该单位在购买设备时应同时购买20件易耗品和21件易耗品时总费用的可能取值及期望,即可分析求解.
【详解】（1）由题中的表格可知
A型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为 ；
B型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率分别为 ；
C型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率分别为 ；
设该单位一个月中 三台设备使用易耗品的件数分别为 ,则
 , , ,
设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,
则
而
 ,
 ,
故 ,
即该单位一个月中 三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为 .
（2）以题意知,X所有可能的取值为
 ；
  ；
  ；
由（1）知, ,
若该单位在购买设备的同时购买了20件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为 元,则 的所有可能取值为 ,
 ；
 ；
 ；
 ；
 ；
若该单位在肋买设备的同时购买了21件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为 元,则 的所有可能取值为 ,
 ；
 ；
 ；
 ；
 ,所以该单位在购买设备时应该购买21件易耗品
【点睛】本题考查独立事件的概率,考查离散型随机变量的分布列和期望,考查数据处理能力.
21.已知直线 过椭圆 的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是 ，
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点的直线l与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形 面积的最大值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由直线 可得椭圆右焦点的坐标为 ,由中点 可得 ,且由斜率公式可得 ,由点 在椭圆上,则 ,二者作差,进而代入整理可得 ,即可求解；
（2）设直线 ,点 到直线 的距离为 ,则四边形的面积为 ,将 代入椭圆方程,再利用弦长公式求得 ,利用点到直线距离求得 ,根据直线l与线段AB（不含端点）相交,可得 ,即 ,进而整理换元,由二次函数性质求解最值即可.
【详解】（1）直线 与x轴交于点 ,所以椭圆右焦点的坐标为 ,故 ,
因为线段AB的中点是 ,
设 ,则 ,且 ,
又 ,作差可得 ,
则 ,得
又 ,
所以 ,
因此椭圆 方程为 .
（2）由（1）联立 ,解得 或 ,
不妨令 ,易知直线l的斜率存在,
设直线 ,代入 ,得 ,
解得 或 ,
设 ,则 ,
则 ,
因为 到直线 的距离分别是 ,
由于直线l与线段AB（不含端点）相交,所以 ,即 ,
所以 ,
四边形 的面积 ,
令 , ,则 ,
所以 ,
当 ,即 时, ，
因此四边形 面积的最大值为 .
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程,考查椭圆中的四边形面积问题,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查运算能力.
22.已知函数 ， .
（1）当 时，讨论函数 的零点个数；
（2）若 在 上单调递增，且 求c的最大值.
【答案】（1）见解析（2）2
【解析】
【分析】
（1）将 代入可得 ,令 ,则 ,设 ,则转化问题为 与 的交点问题,利用导函数判断 的图象,即可求解；
（2）由题可得 在 上恒成立,设 ,利用导函数可得 ,则 ,即 ,再设 ,利用导函数求得 的最小值,则 ,进而求解.
【详解】（1）当 时, ,定义域为 ,
由 可得 ,
令 则 ,
由 ,得 ；由 ,得 ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
则 的最大值为 ,
且当 时, ；当 时, ,
由此作出函数 的大致图象,如图所示.
 
由图可知,当 时,直线 和函数 的图象有两个交点,即函数 有两个零点；
当 或 ,即 或 时,直线 和函数 的图象有一个交点,即函数 有一个零点；
当 即 时,直线 与函数 的象没有交点,即函数 无零点.
（2）因为 在 上单调递增,即 在 上恒成立,
设 ,则 ,
①若 ,则 ,则 在 上单调递减,显然 ,
在 上不恒成立；
②若 ,则 , 在 上单调递减,当 时, ,故 , 单调递减,不符合题意；
③若 ,当 时, , 单调递减,
当 时, , 单调递增,
所以 ,
由 ,得 ,
设 ,则 ,
当 时, , 单调递减；
当 时, , 单调递增,
所以 ,所以 ,
又 ,所以 ,即c的最大值为2.
【点睛】本题考查利用导函数研究函数的零点问题,考查利用导函数求最值,考查运算能力与分类讨论思想.