河北省保定市2020届高三数学（文）第一次模拟试卷（Word版附答案）
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2020年高三第一次模拟考试
理科数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.在答题卡上与题号相对应的区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效。不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|x>2或x<－1}，B＝{x|－1≤x≤4}，则A∩B＝
A.{x|2 2.若复数z＝ ，则 ＝
A.－1＋i B.1－i C.－2＋i D.2－i
3.已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m//α，n⊥β，则
A.l//m B.m//n C.n⊥l D.m⊥n
4.已知 与 均为单位向量，若 ⊥(2 ＋ )，则 与 的夹角为
A.30° B.45° C.60° D.120°
5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有五人五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思是：“现有甲、乙、丙、丁、戊，五人依次差值等额分五钱，要使甲、乙两人所得的钱数与丙、丁、戊三人所得的钱数相等，问每人各得多少钱?”请问上面的问题里，五人中所得的最少钱数为
A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱
6.在△ABC中，内角A.B.C所对的边分别是a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，若△ABC外接圆的半径为1，则b＝
A. B.2 C. D.
7.一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为
A. B. C. D.
8.如图所示的程序框图中，若输入的x∈(－1，6)，则输出的y∈
A.(0，7) B.(0， ) C.[0，7] D.[0， ]
9.抛掷一枚质地均匀的硬币，记an＝ ，Sn为数列{an}的前n项和，则|S3|＝1且S10＝4的概率为
A. B. C. D.
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若点A，B，C，O满足：① (λ≠0)；②A，B，O确定一个平面：③ ，则S100＝
A.29 B.40 C.45 D.50
11.抛物线y2＝2px(p>0)焦点为F，点P满足 (O为坐标原点)，若过点O作互相垂直的两弦OA、OB，则当弦AB过点P时，λ的所有可能取值的集合为
A.{4} B.{3} C.{ ，4，3) D.{ ，3，4}
12.设函数f(x)＝ ，若常数A满足：对 x1∈[2，22020]， 唯一的x2∈[2，22020]，使得f(x1)，A，f(x2)成等差数列，则A＝
A.－1010.5 B.－1011 C.－2019.5 D.2020
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若2a＝10。b＝log510，则 。
14.设函数f(x)＝2sinxsin(x＋ ＋φ)是奇函数，其中φ∈(0，π)，则φ＝ 。
15.Rt△ABC中，∠A＝ ，BC＝6，以BC的中点为圆心，以1为半径的圆，分别交BC于点P、Q，则|AB|2＋|AP|2＋|AQ|2＋|AC|2＝ 。
16.若f(x)是定义在R上的函数，且对任意x∈R都有f(x＋4)≤f(x)＋4，f(x＋2)≥f(x)＋2，且f(－1)＝0，则f(101)＝ 。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(12分)
在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝ 。
(1)若a，b，c成等比数列，求证：B≤60°；
(2)若cos2A＝－ (A为锐角)，sinC＝ ，求△ABC中AB边上的高h。
18.(12分)
如图，四边形ABCD为矩形，△ABE和△BCF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠BCF＝∠DAE＝90°，EA//FC。
(1)求证：ED//平面BCF；
(2)设 ＝λ，问是否存在λ，使得二面角B－EF－D的余弦值为 ?若存在，求出入的值；若不存在，请说明理由。
19.(12分)
习近平总书记在2020年元旦贺词中勉励大家：“让我们只争朝夕，不负韶华，共同迎接2020年的到来。”
其中“只争朝夕，不负韶华”旋即成了网络热词，成了大家互相砥砺前行的铮铮誓言，激励着广大青年朋友奋发有为，积极进取，不负青春，不负时代。
“只争朝夕，不负韶华”用英文可翻译为：
“seize the day and live it to the full。”
(1)求上述英语译文中，e，i，t，a四个字母出现的频率(小数点后面保留两位有效数字)，并比较四个频率的大小；(用“>”连接)
(2)在上面的句子中随机取一个单词，用X表示取到的单词所包含的字母个数，写出X的分布列，并求出其数学期望；
(3)从上述单词中任选两个单词，求其字母个数之和为6的概率。
20.(12分)
已知椭圆C： 的右焦点为F(c，0)，离心率为 ，且经过点(1， )，
广西桂林、崇左、贺州市2020届高三数学（文）下学期第二次联考试题（Word版附答案）
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点M为椭圆上的动点。
(1)求M到点D(1，0)的最短与最长距离；。
(2)设直线l：y＝x＋n与椭圆C相交于A、B两点，则是否存在点P( ，m)，使得△ABP的内切圆恰好为x2＋y2＝1?并说明理由。
21.(12分)
已知函数F(x)＝－2mex(x＋1)(m≠0)。
(1)若m>0，求函数F(x)的最大值；
(2)设f(x)＝F(x)＋x2＋3x，若对任意x∈[1，＋∞)，a∈[－1，0)，不等式lnx－ax＋1>f(a)恒成立，求实数m的取值范围。
(二)选考题：共10分。请考生从第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡。上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。
22.(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C1： ，(α为参数)，M是C1上的动点，点P满足 ，且其轨迹为C2。
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，射线OE与C1、C2的交点分别为A、B(均异于O)，求线段AB中点Q的轨迹的极坐标方程。
23.(10分)[选修4－5：不等式选讲]
已知a，b，c为正数，f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|＋|x－c|。
(1)若a＝b＝c＝1，求函数f(x)的最小值；
(2)若f(0)＝1且a，b，c不全相等，求证：b3c＋c3a＋a3b>abc。
数学理科答案
一、选择题
C．B．C．D. D. C. A. C. B. D. A.A．
二、填空题
13．1； 14. ； 15. 56； 16.102.
三、解答题
17.（12分）
解：(1) 证明：因为 成等比数列，所以 ……………………1分
而 （当且仅当 时取等号）
又因为B为三角形的内角，所以B ……………………4分
(2) 在 中，因为 ，所以 ．………………6分
又因为 ，
所以由正弦定理 ，解得 ……………………8分
法1：由 得 .
由余弦定理 ，得 .
解得 或 （舍）………………………………………10分
所以AB边上的高 .…………………12分
法2:由 得 ．……………………6分
又因为 ,所以 ……………………7分
所以 …9分
或 (舍)
【或：因为 ，且 ，所以C为锐角，…………………6分
又因为 所以 ……………………7分
…10分】
所以AB边上的高 .…………………12分
法3：等面积法也可。（酌情给分）
18.（12分）
解：（1）因为AD∥BC, 所以AD∥平面BCF
因为EA∥FC，所以EA∥平面BCF……………………2分
所以平面ADE∥平面BCF
故ED∥平面BCF………………………………………4分
(2)以D为原点，建立空间直角坐标系，如图.
因为∠BAE=∠DAE=90°，所以EA⊥平面ABCD，又因为EA∥FC， 所以FC⊥平面ABCD
设AB=a,BC=b,则D(0,0,0),F(0,a,b),E(b,0,a),B(b, a , 0) ……………………6分
则 (b,0,a), (0,a,b)
设平面DEF的法向量为
则由
取x=1，因为 ，则 ……8分
设平面BEF的法向量为
(0,-a，a) (-b，0,b)
则由 ，取 ………………9分
因为二面角B-EF-D的余弦值为 ，所以
即 ，由于 ，
所以不存在正实数 ，使得二面角B-EF-D的余弦值为 ……………………12分
19.（12分）
解（1）e,i,t,a四个字母出现的频率分别为
其大小关系为：e出现的频率 t出现的频率 i出现的频率 a出现的频率…………4分
（2）X分布列为：
………………6分
其数学期望为
……………………8分
（3）满足字母个数之和为6的情况分为两种情况：
①从含两个字母的两个单词中取一个，再从含4个字母的两个单词中取一个，其取法个数为 …………………………………………10分
②从含3个字母的4个单词中取两个，其取法个数为
故所求的概率为 ……………………12分
20.（12分）
解：（1）依题意得 所以
所以椭圆的方程为 ………………………………2分
设M(x0,y0) 到点D的距离为d，则
因为二次函数的对称轴为直线x=2
所以，该函数在[ 2,2]上单调递减，所以当
所以M到点D的最短与最长距离分别为 ………………………………5分
（2）假设存在点 ,使得 的内切圆恰好为
设 因为直线AB与圆 相切，
………………………………6分
，
联立得 ，
………………………………7分
法1：因为AO为 的角平分线，所以
——————————————————9分
所以
所以直线BP的方程为为
因为圆心到直线BP的距离为
所以此时BP不是圆的切线 ————11分
， BP也不是圆的切线
综上所述：P不存在. ————12分
所以，直线AP的方程为
由原定O到直线AP的距离为1得
解得m=0或 ………………………………8分
当m=0时，P（ ），此时直线BP的效率为
所以直线BP的方程为
因为圆心到直线BP的距离为
所以此时BP不是圆的切线………………………………10分
P（ ），此时直线BP的效率为
所以直线BP的方程为 ，与直线AB重合，故舍去…………………11分
， BP也不是圆的切线
综上所述：P不存在. ………………………………12分
21.（12分）
解：(1)由 ，所以x=-2，……………………1分
因为 ,所以在（-∞，-2）上，F（x）递增；在（-2，+∞）递减
所以函数F（x）只有最大值，其最大值为 ，无最小值……………3分
(2)
所以 , 即 ………………4分
由于
因为对任意的 ， ，不等式 恒成立，
故只需
即原式等价于对任意的 ， 恒成立…………6分
法1:记 ，
则 ．
且 ．
①当 时， ，即 时， 单调递减.
∴ ，只需 ，解得 ，∴ ． ………………8分
② 当 时，令 得 ，或 （舍去）
（ⅰ）当 时， ，当 时， ；
当 时， ，∴
解得 ，∴ ． ……………………10分
（ⅱ）当 时，则 ，又因为
【或：因为 ，所以 ，所以 】，
所以 ，则 在 上单调递增，
∴ ，
综上， 的取值范围是 ． ………………12分
法2：当a=-1时，显然m≠0时恒成立……………………………7分
………………9分
令
综上， 的取值范围是 ． ………………12分
22. (10分)
解:（1）法1：设P(x,y),则由条件知M( ).由于M点在C1上，
所以 ……………………2分
从而 的参数方程为 （ 为参数）
消去参数得到所求的直角坐标方程为 ……………………4分
法2：由 得，
即C1的直角坐标方程为： ……………………2分
设P(x,y),则由条件知M( ).由于M点在C1上，所以M的坐标适合上述方程
即 ，化简得所求的直角坐标方程为 …………4分
（2）因为 ，代入上式得 的直角坐标方程得，其极坐标方程为 ，……………………6分
同理可得曲线 的极坐标方程为 ……………………7分
设Q（ ），A（ ），B（ ），
则AB的中点Q的轨迹方程为
即AB的中点Q的轨迹极坐标方程为 ……………………10分
23．(10分）
解：（1）因为 ，
所以 ……………………1分
法1:由上可得:
……………………3分
所以，当x=-1时，函数 的最小值为2……………………4分
……………2分
当且仅当 ,即x=-1时取得最小值2…………………4分
（2）证明：因为 ， ，c为正数，所以要证
即证明 就行了……………………6分
法1:因为
…8分
又因为 即 且 ， ， 不全相等，
所以
即 ………………10分
法2:因为( )(
……………………8分
又因为 即 且 ， ， 不全相等，
所以
即 ………………10分
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