安徽省滁州市定远县重点中学2020届高三数学（理）5月模拟试题（Word版附答案）

安徽省滁州市定远县重点中学2020届高三数学（文）5月模拟试题（Word版附答案）

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2020届高三下学期5月模拟考试

理科数学

全卷满分150分，考试用时120分钟。

第I卷   选择题（共60分）

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1.集合 ， ,则

A.                      B.                   C.                 D.  

2.若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则  

A.                                B.                          C. 1                  D. 2

3.已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断错误的是

 

A. 乙班的理科综合成绩强于甲班    B. 甲班的文科综合成绩强于乙班

C. 两班的英语平均分分差最大    D. 两班的语文平均分分差最小

4.已知各项均不相等的等比数列 成等差数列，设 为数列 的前n项和，则 等于

A.                              B.                               C. 3                     D. 1

5.执行如图所示的程序框图，令 ，若 ，则实数a的取值范围是

 

A.                                  B.  

C.                               D.  

6.某几何体的三视图如图所示，坐标纸上的每个小方格的边长为1，则该几何体的外接球的表面积是

 

A.                           B.                      C.                          D.  

7.设 、 、 、 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足 ，  ，  ，用 、 、 分别表示 、 、 的面积，则 的最大值是

A.                               B. 2                              C. 4                            D. 8

8.已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，以 为直径的圆 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为 、 ，点 为圆 与 轴正半轴的交点，若 ，则双曲线 的离心率为

A.                      B.                  C.                   D.  

9.已知函数 的最大值为 ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，且 的图象关于点 对称，则下列判断正确的是

A. 要得到函数 的图象只将 的图象向右平移 个单位

B. 函数 的图象关于直线 对称

C. 当 时，函数 的最小值为

D. 函数 在 上单调递增

10.已知函数 ，则 的大致图象为

A.                               B.  

C.                               D.  

11.已知定义在R上的偶函数 （函数f(x)的导函数为 ）满足 ，e3f(2018)＝1，若 ，则关于x的不等式 的解集为

A.                       B.                   C.                 D.  

12.已知函数 ，若函数 在区间 上恰有两个不同的零点，则实数 的取值范围

A.                B.                  C.                   D.  

第II卷   非选择题（共90分）

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)  

13.代数式 的展开式的常数项是________（用数字作答）

14.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为1，1，2，3，5，8 ，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列 为“斐波那契”数列， 为数列 的前 项和，若 则 __________．(用M表示)

15.已知点 分别是双曲线 的左、右焦点，  为坐标原点，点 在双曲线 的右支上，且满足 ，  ，则双曲线 的离心率的取值范围为__________．

16.若变量 满足约束条件 ，且 的最小值为 ，则 __________．

三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17. （本小题满分12分）

已知函数 ．

(I)求函数 的最小正周期和最小值；

(II)在 中，A，B，C的对边分别为 ，已知 ，求a，b的值．

18. （本小题满分12分）

我国是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准 （吨），用水量不超过 的部分按平价收费，超过 的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

 

（Ⅰ）若全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，试估计全市有多少居民？并说明理由；

（Ⅱ）若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为 和 之间选取7户居民作为议价水费价格听证会的代表，并决定会后从这7户家庭中按抽签方式选出4户颁发“低碳环保家庭”奖，设 为用水量吨数在 中的获奖的家庭数， 为用水量吨数在 中的获奖家庭数，记随机变量 ，求 的分布列和数学期望．

19. （本小题满分12分）

如图 ，四边形 为等腰梯形 沿 折起，使得平面 平面 为 的中点，连接 （如图2）.

 

图1                       图2

（Ⅰ）求证：  ；

（Ⅱ）求直线 与平面 所成的角的正弦值.

20. （本小题满分12分）

已知点 是拋物线 的焦点, 若点 在 上,且 ．

（1）求 的值；

（2）若直线 经过点 且与 交于 （异于 ）两点, 证明: 直线 与直线 的斜率之积为常数．

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

21. （本小题满分12分）

已知 ，函数 ， ．

 求证： ；

 讨论函数 零点的个数．

22.选修4—4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为  (其中 为参数）.以坐标原点 为极点，  轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线 的极坐标方程为 .

（1）把曲线 的方程化为普通方程，  的方程化为直角坐标方程；

（2）若曲线 ，  相交于 两点，  的中点为 ，过点 做曲线 的垂线交曲线 于 两点，求 .

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数 ．

（Ⅰ）解不等式 ；

（Ⅱ）若 ，且 ，求证：  ．

 

参考答案

1.B

【解析】根据题意得到集合M的解集，再由集合的补集的概念得到   ，最后由交集的概念得到结果.

 ， = ，

   ，则 .故答案为：B.

2.C

【解析】由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.

详解：由题意可得： ，

则 .本题选择C选项.

3.D

【解析】先对图象数据进行处理,再逐一进行判断即可得到结果.

由甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图可得：

乙班的理科综合成绩强于甲班,即选项 正确，

甲班的文科综合成绩强于乙班，即选项 正确，

两班的英语平均分分差最大，即选项 正确，

两班地理平均分分差最小，即选项 错误，故选D.

4.A

【解析】设等比数列{an}的公比为q，由3a2，2a3，a4成等差数列，可得2×2a3=3a2+a4，4a2q=3 ,解得q．利用通项公式与求和公式即可得出．

设等比数列{an}的公比为q，∵3a2，2a3，a4成等差数列，

∴2×2a3=3a2+a4，

∴4a2q=3 ，化为q2﹣4q+3=0，

解得q=1或3．

q=1时，   ,

q=2时，   .故选：A．

5.D

【解析】该程序的功能是计算并输出分段函数 .

当 时， ，解得 ；

当 时， ，解得 ；

当 时， ，无解.

综上， ，则实数a的取值范围是 .故选D.

6.C

【解析】详解： 根据几何体的三视图，得；

该几何体是如图所示的三棱锥，三棱锥的高  ，

且侧面 底面  

  ∴  ， 的外接圆的圆心为斜边 的中点  ，设该几何体的外接球的球心为  底面 ，

设 外接球的半径为  

则  

解得  

  ，∴外接球的表面积 ．故选C．

7.B

【解析】设 ，  ，   

∵ ，  ，  

∴ ，  ，  两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，即

∵ 、 、 分别表示 、 、 的面积

∴ ，当且仅当 时取等号

∴ 的最大值是 。故选B

8.D

【解析】画出图形如图所示，由题意得双曲线在一、三象限的渐近线方程为 ，以 为直径的圆 的方程为 ．

 

由 ，解得 ，故点P的坐标为 ；

由 ，解得 ，故点Q的坐标为 ．  

∵ ，

∴ ，

∴ ，整理得 ，

∴ ，故得 ，解得 ．选D．

9.A

【解析】利用题设中的图像特征求出函数的解析式后可判断出A是正确的.

因为 的最大值为 ，故 ，又图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，故 即 ，所以 ，

令 ，则 即 ，

因 ，故 ， .

 ，故向右平移 个单位后可以得到 ，故A正确；

 ，故函数图像的对称中心为 ，故B错；

当 时， ，故 ，故C错；

当 时，

安徽省淮南市寿县第二中学2020届高三数学（理）一模试卷（Word版附答案）

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， 在 为减函数，故D错.综上，选A.

10.A

【解析】可以排除法，利用奇偶性可排除选项 ；利用 ，可排除选项 ，从而可得结果.

因为 ，

所以函数 是奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项 ；

又因为 ，可排除选项 .故选A.

11.B

【解析】 是偶函数，  ，  ，  ，  ，即 ，设 ，则 ，  在 上递增，由 ，得 ，相减可得 ，  的周期为 ，  ，  ，  ，结合 的周期为 可化为 ，  ，  不等式解集为 ，故选B.

12.C

【解析】设 ，则 ，即 ，则 ，所以问题转化为 在区间 上恰有两个不同的零点，即 在区间 上恰有两个不同的零点，设 ，则 ，则问题转化为 在区间 上有两个不同的零点，结合二次函数图像可知，应满足 ，解得 ，故选择C.

13.3

【解析】 的通项公式为 .

令 ，得 ；令 ，得 .

∴常数项为 。故答案为 .

14.

【解析】详解：由“斐波那契”数列可知

      

                 。

         所以  ，

         所以  

15.

【解析】由 ，可得 ，

故 为直角三角形，且 ，

∴ ．

由双曲线定义可得 ．

∵ ，

∴ ，可得 ．

又 ，

整理得 ．

∴ ．

∴ ，

又 ，

∴ ，即双曲线 的离心率的取值范围为 ．答案：  

16.

【解析】目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，

∴y=﹣3x+z，要使目标函数z=3x+y的最小值为﹣1，

则平面区域位于直线y=﹣3x+z的右上方，即3x+y=﹣8，

作出不等式组对应的平面区域是一个封闭的三角形，

则目标函数经过点A 时，目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，

代入得到  故答案为：-2.

17.(Ⅰ)  的最小正周期 ,最小值为-4; (Ⅱ)  .

【解析】(Ⅰ)

    ，

所以 的最小正周期 ,最小值为 .

(Ⅱ)因为 所以 .

又 所以 ，得 .因为 ，由正弦定理得 ，由余弦定理得， ，

又c= a，所以 .

18.（Ⅰ）30万；（Ⅱ） .

【解析】（Ⅰ）由图，不低于3吨人数所占百分比为

所以假设全市的人数为 （万人），则有 ，解得

所以估计全市人数为30万.

（Ⅱ）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1，因为频率   ，

所以 ，得 ，

用水量在 之间的户数为 户，而用水量在 吨之间的户数为 户，根据分层抽样的方法，总共需要抽取7户居民，所以用水量在 之间应抽取的户数为 户，而用水量在 吨之间的户数为 户．

据题意可知随机变量 的取值为0,2,4．

 ，

 ，

 ，

其分布列为：

     0    2    4

               

期望为： ．

19. （Ⅰ） , 则, ，又因为平面   平面 且平面   平面   ，所以 平面 ，从而 ．

 

（Ⅱ）取AC中点F，连接EF、EC. ，设E点到平面BCD的距离为 ， ， ,

DE与平面BCD所成角为 ，则 .

20. 解析：（1）由抛物线定义知 ,则 ,解得 ,又点 在 上, 代入 ,得 ,解得 ．

（2）由（1）得 ,当直线 经过点 且垂直于 轴时, 此时 ,

则直线 的斜率 ,直线 的斜率 ,所以 ．当直线 不垂直于 轴时, 设 ,

则直线 的斜率 ,同理直线 的斜率 ,设直线 的斜率为 ,且经过 ,则 直线 的方程为 ．联立方程 ,消 得,  ,

所以 ,故 ,

综上, 直线 与直线 的斜率之积为 ．

21.

证明： 设 ，则 ，

 ，且 ，

当 时， ， 递增，

当 时， ， 递减，

 ， ，

 ，

 ．

解： ， ，

 ， ，

 ， 方程 有两个不相等的实根，分别为 ，

 ，且 ，

 ，

当 时， ， 递减，当 时， ， 递增，

 ， ，

 ，即 ，

 ．

设 ，则 ， 是减函数，

当 ，即 时， ，

函数 只有一个零点，

当 ，即 时， ，

函数 没有零点，

当 ，即 时， ，且 ，

由 知 ， ，

若 ，则有 ，

 ，

 函数 有且只有一个大于 的零点，

又 ，即函数 在区间 有且只有一个零点，

综上，当 时，函数 有两个零点；当 时，函数 只有一个零点，

当 时，函数 没有零点．

22.（1） ，  （2）16

解析：（1）曲线 的参数方程为 （其中 为参数），消去参数可得 .

曲线 的极坐标方程为 ，展开为 ，化为 ..

（2）设 ，且中点为 ，

联立 ，

解得 ，

∴ .

∴ .

线段 的中垂线的参数方程为

 （ 为参数），

代入 ，可得 ，

∴ ，

∴ .

23.解析：（1）

当 时，则 ，解得 ；

当 时，则 不成立；

当 时，由 ，解得 .

所以原不等式的解集为 .

（2） 即 .

因为 , ,

所以 ,

所以 .故所证不等式成立.

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