2020高三数学培优专练4：恒成立问题（含解析）

2020高三数学培优专练5：导数的应用（含解析）

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2020高三数学培优专练4：恒成立问题

例1：设，当时，恒成立，求的取值范围        ．

【答案】

【解析】恒成立不等式为，只需，

令，则对称轴为．

①当时，在单调递增，∴，

∴，即；

②当时，在单调递减，在单调递增，

∴，∴，即．

综上，．

 

例2：已知函数，如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围      ．

【答案】

【解析】∵，∴，

即只需要即可，

 

 

设，

∴，

令(分子的符号无法直接判断，所以考虑再构造函数进行分析）

∴，

∵，∴，∴在单调递增，∴，

∴，∴在单调递增，

∴当时，，∴．

∴实数的取值范围是．

 

例3：已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是      ．

【答案】

【解析】先作出的图象，观察图象可得：若要使不等式成立，

则的图象应在的上方，∴应为单增的对数函数，即，

另一方面，观察图象可得：若要保证在时不等式成立，

只需保证在时，即可，代入，可得，

综上可得：．

 

 

 

 

 

 

 

一、选择题

1．已知，，若对任意的，

恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，可得，∴，

设，∴，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，∴，∴．

2．已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】若恒成立，则，，

∴在单调递减，在单调递增，，，

 

∴，∴．

3．已知，不等式在上恒成立，则的

取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】作出的图象可知为减函数，∴等价于在恒成立，即，解得．

4．若不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】恒成立不等式变形为，

即的图象在图象的上方，

先作出的图象，对于，可看作经过平移得到，而平移的距离与的取值有关．

通过观察图象，可得只需，解得．

 

5．已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

 

【答案】D

【解析】由，可得，

∴，∴，其中．

∴只需要，令，，

令，，

当时，，∴在单调递减，

又，∴，即，

∴在单调递减，∴，∴．

6．设正数，，对任意，不等式恒成立，

则正数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，可得，∴，

，可得在单调递增，在单调递减，

故，

∴若原不等式恒成立，只需，

再进行一次参变分离，，则只需，

，∴，

 

 

∴，解得．

 

二、填空题

7．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是     ．

【答案】

【解析】∵，即恒成立，∴，

若不等式恒成立，只需，

令，

∵，∴．

8．若不等式对于任意的都成立，则实数的取值范围是      ．

【答案】

【解析】先作出的图象，观察图象可得：若要使不等式成立，

则的图象应在的上方，

2020高三数学培优专练6：三角函数（含解析）

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∴应为单减的对数函数，即，

观察图象进一步可得，要使不等式对于任意的都成立，

只需时，，即，∴．

 

 

 

 

 

 

9．已知函数，对任意的，都有，则最大的正整数为       ．

【答案】

【解析】，即，作出函数和的图象，

 

可知，，，∴，

即的最大整数值为．

10．已知，，若不等式对任意恒成立，

则实数的取值范围为        ．

【答案】

【解析】令，可得，

，

由可得，当时，，，，

即，∴在上单调递增，

∴，即，解得，

 

结合，可得．

 

三、解答题

11．已知函数．

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1），，，

∴函数在点处的切线方程为．

（2）当时，由，可得，

即只需要，

设，

令，，

∵，∴，

在单调递增∴，

∴，在单调递增，，．

综上，实数的取值范围为．

 

12．已知函数，，．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若对于任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减；（2）．

【解析】（1）当时，，，

易得当时，，当时，，

∴函数在上单调递增，在上单调递减．

（2）恒成立，只需，

由，得，令，解得，

∴在单调递减，在单调递增，

∴，

∴，都有恒成立，即只需．

，

当时，令，

则，与矛盾，

当时，，∴解得，

∴在单调递增，在单调递减，

∴，

∴，解得，

综上所述：．

 

13．已知函数，其中．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1），

当时，可得恒成立，∴在单调递增；

当时，令，可解得或，

∴在，单调递增；在，单调递减．

（2）若在上恒成立，则只需，

由（1）可知在的边界处取得最大值，

∴，即对任意的恒成立，

∴，可得．

综上，的取值范围为．

14．已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

 

 

（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1），

①当时，恒成立，∴在上单调递增；

②当时，函数在上单调递减，在上单调递增．

（2）由可得，

设，，

，∴

恒成立，，

∴，否则若，由于连续，

 ∴必存在区间使得，即在单调递减，

进而，使得，不符题意．

∴．

下面证任意的均满足条件．

构造函数（时的）

则，当时，，∴，

∴，．

 

 

若要恒成立，只需证明即可．

又，

，可得，

令，

，

当时，，

∴在单调递增，，即，

∴在单调递增，成立，

∴时，，恒成立，符合题意．

综上，的取值范围为．

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