2020高三数学培优专练3：含导函数的抽象函数的构造（含解析）

2020高三数学培优专练4：恒成立问题（含解析）

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2020高三数学培优专练3：含导函数的抽象函数的构造

对于，可构造，则单调递增．

例1：已知的导函数满足且，则不等式的解集是        ．

【答案】

【解析】令，则，∴在上为单调递增．

又∵，∴，则可转化为，

根据单调性可知不等式的解集为．

 

对于，可构造，则单调递增．

(特例：对于，可构造，则单调递增．）

例2：设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，

则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】令，，

∵当时，，∴，

∴在上是减函数，

 

∴可化为，

∴，故．故选D．

 

对于，可构造，则单调递增．

（特例：对于，可构造，则单调递增．）

例3：设定义域为的函数满足，则不等式的解集为        ．

【答案】

【解析】设，则，

∵，∴，即函数在定义域上单调递增．

∵，∴，即，∴，

即．∴不等式的解集为．

 

一、选择题

1．已知函数的导函数为，若，，则不等式的

解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，

则，

∴函数在上为增函数，

 

又，∴，

∴不等式等价于，即，解得，

所以不等式的解集为．故选D．

2．已知定义在上的可导函数满足，设，，

则、的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．、的大小与有关

【答案】B

【解析】设，则，

所以为减函数，

∵，∴，所以，

∴，即．故选B．

3．已知函数是定义在区间上的可导函数，满足且

（为函数的导函数），若且，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】构造函数，（），，

∴是上的减函数．

令，则，由已知，可得，

下面证明，即证明，

 

 

令，则，即在上递减，，

即，所以，

若，，则，故选C．

4．已知函数是定义在区间上的可导函数，为其导函数，当且时，，若曲线在点处的切线的斜率为，则的值

为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】当且时，，

可得时，；时，，

令，，

则，可得当时，；

当时，，所以函数在处取得极大值，

所以，

又，所以．故选A．

5．函数是定义在上的函数，，且在上可导，为其导函数，

若且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】函数在上可导，为其导函数，

令，则，可知当时，是单调减函数，

 

 

时，函数是单调增函数，

又，，则，且．

则不等式的解集就是的解集，该不等式的解集为．故选B．

6．设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），

则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】可构造函数，，

由，可得，即有在上递增．

不等式即为，即．

∵，∴可转化为，由在上递增，可得，解得．故不等式的解集为，故选C．

7．已知函数的图象关于点对称，函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

2020高三数学培优专练5：导数的应用（含解析）

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【答案】C

【解析】∵函数的图象关于点对称，∴为奇函数，∴为偶函数．

函数对于任意的满足得，

 

即，所以在上单调递增，在上单调递减．

由，即，可知A错误；

由，即，可知B错误；

由，即，可知C正确；

由，即，可知D错误．故选C．

8．已知是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，

若，，，则，，的大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，∵为奇函数，∴为上的偶函数，

∴，∵当时，．

∴当时，，当时，，

即在单调递增，在单调递减．

∵，，，且，

 

 

∴．即，故选C．

9．已知函数是上的奇函数，是其导函数，当时，，

则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设，则，

∵当时，，∴，∴函数在上单调递减．

∵，则当时，，

又，∴；当时，，

又，∴．

又在奇函数，则在区间和上，都有．

∵等价于或，解得或．

∴不等式的解集是，故选D．

10．已知定义在上的函数，是的导函数，若，且，

则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】设，（），

则，

 

∵，∴，∴，

∴在定义域上单调递增，∵，∴，

又∵，∴，∴，

∴不等式的解集为．故选A．

11．设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，则，

因为当时，，则，所以当时，为单调递减函数，

因为，所以，

所以，即为偶函数，

将不等式，

等价变形得，即，

又因为为偶函数，且在单调递减，则在是单调递增，，解得，

所以的最小值为．

12．已知函数的导函数满足对恒成立，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，由，，

 

 

得，∴，

故在递减；故，即，∴．故选A．

 

二、解答题

13．已知定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式的解集为        ．

【答案】

【解析】令，因为，所以，

故，故在上单调递减，

又∵，∴．∴不等式可转化为，

根据单调性可得，即的解集为．

14．已知定义在的函数的导函数为，满足，且，

则不等式的解集为        ．

【答案】

【解析】构造函数，

∴当时，，

故函数在区间上递增，且，

∴原不等式可变为，即，

根据单调性有，故原不等式的解集为．

 

 

15．已知的导函数为，若且当时，

则不等式的解集是        ．

【答案】

【解析】令，则由，可得，

故为偶函数，

又当时，即，所以在上为增函数．

不等式可转化为，

∴根据单调性和奇偶性可得，解得．

16．已知定义在上的函数满足，，对任意，不等式恒成立，其中是的导数，则不等式的解集为        ．

【答案】

【解析】构造函数，，

因为，所以，为上的偶函数，

由，得，所以，

因为，

所以当时，由得，，即时单调递增，

 

 

由偶函数得当时，单调递减，

因此由不等式，得或，

所以或，解集为．

2020高三数学培优专练6：三角函数（含解析）

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