江苏省溧阳中学2021届高三数学上学期期初试题（Word版附答案）
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衡阳一中2021届高三第一次月考
数学试卷
总分：150分 时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题p：关于x的函数 在 上是增函数，命题q：函数 为减函数，若 为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．命题“ ， ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．-54
5．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油速度
6．函数 的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ， ，则实数a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数 ，若函数 有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．已知非零向量 ， ，若 ，则
B．若 ， ，则 ，
C．在 中，“ ”是“ ”的充要条件
D．若定义在R上的函数 是奇函数，则 也是奇函数
10．若 ， ， ，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 ，下列四个命题正确的是（ ）
A．函数 为偶函数函数
B． 在 上为单调递增函数
C．若 ，其中 ， ， ，则
D．若 ，则
12．在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设顶点 的轨迹方程是 ，则对函数 的判断正确的是（ ）
A．函数 是偶函数
B．函数 在 上有两个零点
C．函数 在 上单调递增
D．对任意的 ，都有
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是________．
14．若关于x的不等式 在区间 上有解，则实数a的取值范围为________．
15．若两个正实数x，y满足 ，且 恒成立，则实数m的取值范围是________．
16．已知函数 ，其中 ，若动直线 与函数 的图象有三个不同的交点，且它们的横坐标分别为 ， ， ，则 的最大值是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在 中，设角A，B、C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求角C的大小；
（2）若 ，求 面积的最大值．
18．已知正项等差数列 中， 为其前n项和， ， ，等比数列 的前n项和 ．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和．
19．如图，等腰梯形ABCD中， ， ， ，E为CD中点，以AE为折痕把 折起，使点D到达点P的位置（ 平面ABCE）
（1）证明： ；
（2）若线段PC的长为 ，求二面角 的余弦值．
20．近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：
土地使用面积（单位：亩） 1 2 3 4 5
管理时间（单位：月） 8 10 13 20 24
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：
愿意参与管理 不愿意参与管理
男性村民 150 50
女性村民 50
（1）求出相关系数r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x是否线性相关？（保留三位小数）
（2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关？
（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到愿意参与管理的男性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望．
参考公式及数据：
， ，其中 ， ．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
21．已知椭圆 的离心率为 ，其右顶点为A，下顶点为B，定点 ， 的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于PQ两点，直线BP，BQ分别与x轴交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）试探究M，N的横坐标的乘积是否为定值，说明理由．
22．已知函数 ， ．
（1）当 时，不等式 成立，求整数m的最大值．
（2）证明：当 时， ．
（参考数据： ， ）
衡阳市第一中学2021届高三第一次月考数学参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A B D C A D ABD ABCD ACD AB
填空题
13． 14． 15． 16．1
解答题
17．解：（1）由题意知
即 ，由正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，又∵ ，∴ ．
（2）∵ ，∴ ，当且仅当 时取等号，
又 ，则 面积的最大值为 ．
18．解：（1） ，又 ，
江苏省南京大学附属中学2021届高三数学上学期阶段检测试题（一）（Word版附答案）
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或 ， ．
则 或 ，又数列 为正项数列，则
当 时， ；当 时， 也满足上式，∴ ．
（2）由题可知， ， ，记数列 的前n项和为 ，
，
，故 ．
19．解：（1）在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，
∵ ， ，∴四边形ABCE为平行四边形，∴ ，
∴ 为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD中， ，
，∴在等腰 中，
∴ ，即 ，∴ ，
翻折后可得： ， ，又∵ 平面OB， 平面POB， ，
∴ 平面POB，∵ 平面POB，∴ ；
（2）由（1）知 ，连接OC在 中，由余弦定理可得 ．
在 中有 ，可知 ，又 ，
平面ABCE，则以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为乙轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，
， ， ，∴ ， ．
设平面PCE的一个法向量为 ，则
，∴ ．
设 ，则 ， ，∴ ，
由题意得平面PAE的一个法向量 ，
设二面角 为 ， ．
易知二面角 为钝角，所以 ．（射影面积法也可）
20．解：（1）依题意： ， ，
故 ， ， ，则
故管理时间y与土地使用面积线性相关．
（2）依题意，女性村民中不愿意参与管理的人数是50，计算得 的观测值为
．
故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关．
（3）依题意，X的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到愿意参与管理的男性村民的概率为 ．
， ， ，
故x的分布列为
X 0 1 2 3
P
则数学期望为 ．
21．（1）由已知，A，B的坐标分别是 ， 由于 的面积为3，
∴ ，又由 得 ，解得： ，或 （舍去），
∴ ， ，∴椭圆方程为 ；
（2）设直线PQ的方程为 ，P，Q的坐标分别为 ， ．
则直线BP的方程为 ，令 ，得点M的横坐标 ．
直线BQ的方程为 ，令 ，得点N的横坐标 ．
∴
把直线 代入椭圆 得 ．
由韦达定理得 ， ．
∴ ，是定值．
22．解：（1）当 时， ，令 ，则 ．
因此 在 上为增函数，又 ， ，
∴ 使得 ，即 ，
当 时， ， 为减函数；当 时， ， 为增函数；
∴ ，所以整数m的最大值为3．
（2）法一：要证 ，即证 ，
令 ，则 ．
令 ，则 ， ，
∵ ，∴ 在 上为增函数，又 ，∴ ，
∴ 在 上为增函数，又 ，∴ ，
∴ 在 上为增函数，又 ，∴ ，即 ，
∴ 在 上为增函数，∴ ，故 ．
法二：放缩法．
江苏省苏州四市五区2021届高三数学上学期期初调研试题（Word版附答案）
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