海淀区高二年级第二学期期中练习
数 学（文科）
学校 班级 姓名 成绩
本试卷共100分.考试时间90分钟.
一、选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2.下列导数运算错误的是（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的图象如图所示，则的极大值点的个数为（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
4.已知函数的导函数.若在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知两个命题：
“若复数满足，则.”
“存在唯一的一个实数对使得.”
其真假情况是（ ）
A.真假 B. 假假 C. 假真 D. 真真
6. 一个高为H容积为V的鱼缸的轴截面如图所示.现向空鱼缸内注水，直到注满为止.当鱼缸水深为h时，水的体积记为v.函数v＝f(h)的大致图象可能是( )
7.已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（ ）
8.已知函数，其导函数的图象如图所示，则函数的图象只可能是（ ）
二、填空题：本大题共4小题, 每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
9.计算=_________.
10.已知 ，则______________.
11. 若函数是增函数，则实数的范围是_______________.
12. 已知数列满足，且，则________，通项______________（用表示）.
三、解答题:本大题共5小题,共52分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
13.（本小题12分）
已知函数，其导函数为的部分值如下表所示：
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-2 |
0 |
1 |
3 |
8 |
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-10 |
6 |
8 |
0 |
-90 |
根据表中数据，回答下列问题：
（Ⅰ）实数的值为___________；当 ________时，取得极大值（将答案填写在横线上）.
（Ⅱ）求实数，的值.
（Ⅲ）求的单调区间.
14.（本小题10分）
如图，四棱锥的底面满足 DE //AC，AC=2DE.
（Ⅰ）若DC⊥平面ABC， AB⊥BC，求证：平面ABE⊥平面BCD;
某同学用分析法证明第（1）问，用反证法证明第 （2）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容.
（Ⅰ）证明：欲证平面平面BCD，
只需证_______________________________，
由已知AB⊥BC，只需证________________，
由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立，
所以平面ABE⊥平面BCD.
（Ⅱ）证明：假设______________________________________，
又因为平面，所以平面.
又因为平面平面=,
所以__________________，
又因为DE //AC，所以是平行四边形，
所以，这与_____________________________矛盾，
所以假设错误，原结论正确.
15.（本小题12分）
已知函数（）.
（Ⅰ）若直线是函数在点处的切线，求实数的值；
（Ⅱ）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围.
16. （本小题10分）
请阅读问题1的解答过程，然后借鉴问题1的解题思路完成问题2的解答：
问题1：已知数集具有性质：
对任意的，与两数中至少有一个属于.若数集具有性质，求的值.
|
解：对于集合中最大的数，因为，，. 所以,,都属于该集合. 又因为，所以. 所以,，故. |
问题2：已知数集具有性质：
对任意的，与两数中至少有一个属于.若数集具有性质，求的值.
17. （本小题8分）
阅读下面的一段文字，并解决后面的问题：
我们可以从函数的角度来研究方程的解的个数的情况，例如，研究方程的解的情况：因为方程的同解方程有，等多种形式，所以，我们既可以选用函数，也可以选用函数，通过研究两函数图象的位置关系来研究方程的解的个数情况.因为函数的选择，往往决定了后续研究过程的难易程度，所以从函数的角度来研究方程的解的情况，首先要注意函数的选择.
请选择合适的函数来研究该方程的解的个数的情况，记为该方程的解的个数.请写出的所有可能取值，并对的每一个取值，分别指出你所选用的函数，画出相应图象（不需求出的数值）.
参考答案
一、选择题：本大题共8小题， 每小题4分，共32分.
AABD CABD
二、填空题：本大题共4小题， 每小题4分，共16分.
9. 10. 11. 12. 9
（说明：一题两空的题目，每空2分）
三、解答题:本大题共5小题,共52分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
13.（本小题12分）
（Ⅰ）6，3. —————————————————————–4分
（Ⅱ）解：，————————————————————-5分
由已知表格可得解得——————————————–7分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得，———————8分
因为和时，时，——-10分
所以的单调增区间为，单调减区间为和.——–12分
14.（本小题10分）
（Ⅰ）证明：欲证平面平面BCD，
只需证平面， ————————————————————2分
由已知AB⊥BC，只需证，————————————————-4分
由已知DC⊥平面ABC可得DC⊥AB成立，
所以平面ABE⊥平面BCD.
（Ⅱ）证明：假设在平面内存在直线与平行，———————————6分
又因为平面，所以平面.
又因为平面平面=,
所以， —————————————8分
又因为DE //AC，所以是平行四边形，
所以，这与矛盾，———————————————10分
所以假设错误，原结论正确.
15.（本小题12分）
（Ⅰ）解：因为，.———————————————————-2分
由已知可得，解得.—————————————-3分
因为，所以，解得.——————————–4分
（Ⅱ）解1：当时，因为，所以不合题意.———————-6分
当时，对任意，都有成立.——–7分
当时，令，解得，
情况如下：
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0 |
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—————————————9分
所以的最大值为. ————————————————-10分
所以，依题意有，————————11分
因为，所以，即.
综上，所求的取值范围为.———————————————-12分
解2：对任意的，都有成立，即成立，
设，
当时，因为，显然不恒成立.—————6分
当时，不等式显然成立.—————————————————–7分
当时，，则，的情况如下：
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0 |
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——————————-9分
所以的最大值为，——————————————–10分
故只需，即.———————————————————11分
综上，所求的取值范围为.———————————————-12分
16. （本小题10分）
解：对于集合中最大的数，因为，，————2分
所以,,,都属于该集合.—————————————4分
又因为，所以.——————6分
所以,,————————————————————-8分
即.——————————————————————————-10分
17. （本小题8分）
解：的可能取值为0，1，2，3.
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的可能取值 |
所选用的函数 |
图象位置关系 |
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与 |
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2分 |
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与 |
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2分
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与 |
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2分
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与 |
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2分 |
说明：其它选择函数的方法相对应给分即可。
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