高二下理科数学期末试题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
8．下列四个结论中正确的个数是( )
①若为假命题，则均为假命题；
②命题：“”的否定是 “”；
③“若则”的逆命题为真命题；
④若是上的奇函数，则
A．1 B．2 C．3 D．4
9．函数的图象大致为( )
10.如图，中的阴影部分是由曲线与直线所围成，向内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
11.函数的图象与的图象关于直线对称，则的单调减区间为 （ ）
A． B． C． D．
12.已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.函数的定义域为_______________
14.设为随机变量，若，当时，的值为______
15.若不等式对于一切成立，则的取值范围是
16.函数，则函数的零点个数是
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤．
17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为 ．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
与交于两点．
（Ⅰ）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点，求的值．
18.（本小题满分12分）已知函数．
（1）求函数的单调性；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
19.（本小题满分12分）某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
（Ⅰ）求分数在的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；
（Ⅲ）若规定：（包含分）分以上为良好，分（包含分）以上为优秀，要从分数在良好以上的试卷中任取两份分析学生失分情况，设在抽取的试卷中，分数为优秀的试卷份数为，求的概率分布列及数学期望．
20.（本小题满分12分）如图，底面为正方形的直四棱柱中，，点在上，且.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
21.（本小题满分12分）已知函数．
（1）若在处的切线与垂直，求的值；
（2）若在上恒成立，求的取值范围；
22.（本小题满分12分）如图，过顶点在原点，对称轴为轴的抛物线上的定点作斜率分别为的直线，分别交抛物线于两点．
（1）求抛物线的标准方程和准线方程；
（2）若，且的面积为，求直线的方程．
答案
1-5DBCBA 6-10CCAAD 11-12CA
13. 14.9 15. 16.7
14.17.解:(Ⅰ)曲线的普通方程为 ……2分直线的直角坐标方程：….5分
(Ⅱ)点在上,的参数方程为 代入整理得：
……..8分
……10分
18.解：（1）在上单调递增；在上单调递减………6分
（2）…..12分（列表2分）
19.解：（Ⅰ）由频率分布直方图得分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，….1分
由茎叶图得分类在[50，60）的人数为2人，
∴全班人数为： 人．….3分
（Ⅱ）由茎叶图得分数在[80，90）之间的频数为：25﹣2﹣7﹣10﹣2=4人，
∵成绩为[80，90）间的频数为4，
∴频率分布直方图中[80，90）间矩形的高为： ．….6分
（Ⅲ）由已知得X的可能取值为0，1，2，
由茎叶图知分数在良好以上有11人，其中分数为优秀有2人，
∴P（X=0）= = ，
P（X=1）= = ，
P（X=2）= = ，….9分
∴X的分布列为：
|
X |
0 |
1 |
2 |
|
P |
|
|
|
E（X）= = …12分
20. 解：以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz. 依题设知B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．
则＝(0,2,1)，＝(2, 2,0)，＝(－2,2，－4)，＝(2,0,4)……3分
(1)证明：∵·＝0，·＝0，
∴A1C⊥BD，A1C⊥DE. 又DB∩DE＝D，
∴A1C⊥平面DBE……….6分
(2)设向量n＝(x，y，z)是平面DA1E的法向量，则n⊥、n⊥.
∴2y＋z＝0，2x＋4z＝0.令y＝1，则z＝－2，x＝4，∴n＝(4,1，－2)．…..8分
∴cos〈n，〉＝……10分
∴二面角A1－DE－B的余弦值为….12分
21.(1)；(2)；
解析：（1）∵的定义域为，，∴，即．….4分
（2）∵，
①当时，，∴在上单调递减，∴当时，矛盾．
②当时，，令，得；，得．
（i）当，即时，时，，即递减，∴矛盾．
（ii）当，即时，时，，即递增，∴满足题意．
综上:．…….8分
22.解：
由得或．
又，点到直线的距离．
，
又，∴，解得或，都满足．
当时，，则直线的方程为：；
当时，，则直线的方程为：．
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