河北定州高一年级第二学期期末考试
数学试卷
一、选择题
1. 已知点和在直线的两侧，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：由题意可知
考点：直线方程
2. 设为不重合的平面，为不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】试题分析：A的结论可能是，B的结论可能是，C的结论可能是，因此A、B、C均错误，故选D.
考点：空间点线面的位置关系.
3. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知可得该几何体是由一个四棱锥和半个圆锥组成的，故其体积为
，故选B.
【点睛】本题主要考查三视图，属于较易题型.应注意把握三个视图的位置和尺寸：主视图在图纸的左上方,左视图在主视图的右方,俯视图在主视图的下方；主视图与俯视图长应对正（简称长对正） ,主视图与左视图高度保持平齐 （简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按上述顺序放置，则应注明三个视图名称.
4. 下图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知中的三视图可得,该几何体是一个长方体挖掉两个圆锥所得的组合体,所以几何体的体积为:,故选D.
点睛:本题考查立体几何三视图的直观图,以及还原几何体后求出相应的体积和表面积.三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
5. 直线在y轴上的截距是，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据题意,设直线为直线l，
另一直线的方程为，
变形可得,其斜率k=，
则其倾斜角为60∘，
而直线l的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，
则直线l的倾斜角为120∘，
且斜率k=tan120∘=−，
又由l在y轴上的截距是−1,则其方程为y=−x−1；
又由其一般式方程为mx+y−1=0，
分析可得：m=−，n=−2；
故选：A.
点睛：直线在y轴上的截距即为令x=0，解得的y的值，也称为纵截距，截距不同于距离，截距可正可负可为0，在直线中还有横截距，即令y=0，解出x即是.
6. 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：画出图象如下图所示，直线过定点，由图可知，斜率最小值为，此时直线的倾斜角为，故倾斜角的取值范围是．
考点：两条直线的位置关系.
7. 如图，在正三棱锥中，、分别是棱、的中点，且，若，则此正三棱锥外接球的体积是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：三棱锥为正棱锥,对棱互相垂直,，又，而，，即,，将此三棱锥补成正方体,则它们有相同的外接球.侧棱长为,,正三棱锥外接球的体积是.选B．
考点：球的组合体.
……………
8. 已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由三视图可知此几何体为四棱锥，底面是边长为2的正方形，面积为4，高为3，所以四棱锥的体积 ，故选D.
9. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】该四棱锥的底面是正方形，其中一条侧棱与底面垂直，所以该四棱锥的外接球就是它所在的长方体的外接球，半径，所以体积，故选D.
点睛：三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
10. 若过点的直线与圆相较于两点，且为弦的中点，则为（ ）
A. B. 4 C. D. 2
【答案】A
【解析】圆心坐标为 ，半径为， 。故选A。
11. 关于空间直角坐标系中的一点，有下列说法：
①点到坐标原点的距离为；
②的中点坐标为；
③点关于轴对称的点的坐标为；
④点关于坐标原点对称的点的坐标为；
⑤点关于坐标平面对称的点的坐标为.
其中正确的个数是
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】由空间直角坐标系O﹣xyz中的一点P（1，2，3），知：
在①中，点P到坐标原点的距离为d==，故①错误；
在②中，由中点坐标公式得，OP的中点坐标为（，1，），故②正确；
在③中，由对称的性质得与点P关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2，﹣3），故③不正确；
在④中，由对称的性质得与点P关于坐标原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3），故④错误；
在⑤中，由对称的性质得与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为（1，2，﹣3），故⑤正确．
故选：A．
12. 若三棱锥中， 平面，且直线与平面所成角的正切值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
如图，取BC中点D，连接AD,PD, ,又因为,面,过A作于D,易知面,是直线PA与面PBC所成的角,相互垂直,以AB,AC,AP为棱的长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球,所以三棱锥P-ABC的外接球的半径为,三棱锥的外接球的表面积为,故选A.
二、填空题
13. 若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则______
【答案】4
【解析】试题分析：，．
考点：棱柱的体积．
【名师点睛】1．解答与几何体的体积有关的问题时，根据相应的体积公式，从落实公式中的有关变量入手去解决问题，例如对于正棱锥，主要研究高、斜高和边心距组成的直角三角形以及高、侧棱和外接圆的半径组成的直角三角形；对于正棱台，主要研究高、斜高和边心距组成的直角梯形．
2．求几何体的体积时，若给定的几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解；若给定的几何体不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等求解．
14. 在正方体中，异面直线与所成角的大小是________.
【答案】
【解析】如图所示，连结,由正方体的性质可得，∠即为所求，且为等边三角形，则直线与所成角的大小是
点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
15. 已知一个多面体的三视图如图所示：其中正视图与侧视图都是边长为1的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为__________.
【答案】
【解析】试题分析：由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面，高等于1，其底面是边长为1的正方形，∴四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球，∴外接球的直径为，∴外接球的表面积.
考点:三视图.
【名师点睛】本题考查三视图，属基础题；解三视图相减问题的关键在于根据三视图还原几何体，要掌握常见几何体的三视图，比如三棱柱、三棱锥、圆锥、四棱柱、四棱锥、圆锥、球、圆台以及其组合体，并且要弄明白几何体的尺寸跟三视图尺寸的关系；有时候还可以利用外部补形法，将几何体补成长方体或者正方体等常见几何体
16. 如果曲线与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
三、解答题
17. 曲线 曲线（是参数）
（1）求曲线的普通方程，并指出它是什么曲线.
（2）当变化时指出曲线是什么曲线以及它恒过的定点并求曲线截曲线所得弦长的最小值.
【答案】（1）圆心（1,0）半径为3的圆;（2）
【解析】试题分析：
(1)利用题意确定曲线 的普通方程即可确定其为圆；
(2)消去参数可知曲线E是是一条恒过定点的直线，据此讨论弦长的最小值即可.
试题解析：
（1）∵
圆心（1,0）半径为3的圆
（2）消去参数是一条恒过定点的直线（但不包括），当直线与圆心连线垂直时弦长最小，设圆心到直线的距离为，则，所以弦
点睛：参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围．圆的弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题．
18. 如下图，在多面体中，⊥平面,,且是边长为2的等边三角形，,与平面所成角的正弦值为.
（1）若是线段的中点，证明：⊥面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】试题分析：（1）取的中点为，连接,可证平面,通过证明四边形为平行四边形可得结论；（2）取的中点，连结取的中点为，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，由与平面所成角的正弦值为求得，求出平面和平面的一个法向量，根据向量的夹角公式即可求得二面角的余弦值.
试题解析：（1）证明：取的中点为，连接，则可证平面，四边形为平行四边形，所以，所以平面；
（2）解：取的中点，连结，则平面，即是与平面所成角，，设，则有，得，取的中点为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图空间直角坐标系，则，由（1）知：平面，又，取平面的一个法向量，又，设平面的一个法向量，由，由此得平面的一个法向量，面积，所以二面角的平面角的余弦值为．
考点：空间中的垂直关系及空间向量在求解二面角中的应用.
19. 如图所示，抛物线的焦点为上的一点满足.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点作不经过原点的两条直线分别与抛物线和圆相切于点，试判断直线是否过焦点.
【答案】（1）；（2）的方程为，经过焦点.
【解析】试题分析：（1）由抛物线的定义可知：及，联立即可求得的值，求得抛物线的标准方程；（2）由题意设直线，代入抛物线方程，根据，求得斜率，求得点坐标，同理求得点坐标，求得直线的方程，即可求得直线是否过焦点.
试题解析：（1）抛物线的准线方程为
所以，又因为，所以，得，
所以抛物线的标准方程为
（2）设，联立，消去得：，
因为与圆相切，所以，即
所以，得
设，联立，消去得：，
因为与圆相切，所以，即，
所以，得
所以直线的斜率，
可得直线的方程为，显然经过焦点
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