九年级数学问卷
本试卷共4页，25小题，满分150分．考试时间120分钟．可以使用计算器，用2B铅笔画图，所有答案都要写在答卷上，答在问卷上的答案无效。
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果“盈利5%”记作+5%，那么—3%表示（ * ）．
A．亏损3% B．亏损2% C．盈利3% D．盈利2%
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ * ）．
3．若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（ * ）．
A．15 B．10 C．3 D．2
4.下列运算正确的是（ * ）．
A． B．
C． D．
5．如图1是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（ * ）．
A． B． C． D．
6．方程的解是（ * ）．
A． B． C． D．
7．某车间20名工人日加工零件数如下表所示：
|
日加工零件数 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
人数 |
2 |
6 |
5 |
4 |
3 |
这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是（ * ）．
A．5、6、5 B．5、5、6 C．6、5、6 D．5、6、6
8．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ * ）．
A． B． C． D．且
9．如图2，△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，连接DE，则下列说法不一定正确的是（ * ）．
A．△ADE是等边三角形 B．AB∥CE
C．∠BAD＝∠DEC D．AC＝CD+CE
10.已知二次函数的图象如图3所示，则反比例函数与一次函数的图象可能是（ * ）．
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．分解因式：＝ * ．
12．近年来，国家重视精准扶贫，收效显著，据统计约65 000 000人脱贫．将65 000 000用科学记数法表示为 * ．
13．若实数、满足，则 * ．
14．如图4，中，是的垂直平分线，交于点，连接BE，若∠C＝40°，则∠AEB＝ * ．
15.如图5，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝，则劣弧的长是 * ．（结果保留π）
16. 如图6，E、F分别是正方形ABCD的边AD、CD上的点，且AE＝DF，AF、BE相交于点P，设AB＝，AE＝，则下列结论：①△ABE≌△DAF；②AF⊥BE；
③；④若，连接BF，则tan∠EBF＝．其中正确的结论
是 * ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题(本大题共9小题，满分102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)[来源:学.科.网]
17．（本小题满分9分）
解不等式组：
18．（本小题满分9分）
如图7，点C、F、E、B在一条直线上，CD＝BA，CE＝BF，DF＝AE，求证：∠B＝∠C．
19．（本小题满分10分）
某校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的不完整统计表，根据表中信息，回答下列问题：
|
喜爱的电视节目类型 |
人数 |
频率 |
|
新闻 |
4 |
0.08 |
|
体育 |
/ |
/ |
|
动画 |
15 |
/ |
|
娱乐 |
18 |
0.36 |
|
戏曲 |
/ |
0.06 |
(1)本次共调查了__* __名学生，若将各类电视节目喜爱的人数所占比例绘制成扇形统计图，则“喜爱动画”对应扇形的圆心角度数是__* __；
(2)该校共有2000名学生，根据调查结果估计该校“喜爱体育”节目的学生人数；
(3)在此次问卷调查中，甲、乙两班分别有人喜爱新闻节目，若从这人中随机抽取人去参加“新闻小记者”培训，求抽取的人来自不同班级的概率．
20．（本小题满分10分）
如图8，□ABCD中，AB＝2，BC＝．
（1）利用尺规作∠ABC的平分线BE，交AD于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）记，先化简，再求的值．
21．（本小题满分12分）
如图9，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地，现计划开凿隧道使A、C两地直线贯通，经测量得：B地在A地的北偏东67°方向，距离A地280km，C地在B地南偏东的30°方向．
（1）求B地到直线AC的距离；
（2）求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到C地的路程将缩短多少？
（本题结果都精确到0.1km）
22．（本小题满分12分）
如图10，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AB、AD的中点．
（1）若AC＝10，BD＝24，求菱形ABCD的周长；
（2）连接OE、OF，若AB⊥BC，则四边形AEOF是什么特殊四边形？请说明理由．
23．（本小题满分12分）
已知反比例函数的图象经过点A，且点A到x轴的距离是4．
(1) 求点A的坐标；
(2) 点为坐标原点，点是x轴正半轴上一点，当时，求直线AB的解析式．
24．（本小题满分14分）
如图11，⊙O是△ABC的内切圆．
（1）若∠A＝60°，连接BO、CO并延长，分别交AC、AB于点D、E，
① 求∠BOC的度数；
② 试探究BE、CD、BC之间的等量关系，并证明你的结论；
（2）若AB＝AC＝10，sin∠ABC＝，AC、AB与⊙O相切于点D、E，将BC向上平移与⊙O交于点F、G，若以D、E、F、G为顶点的四边形是矩形，求平移的距离．
25．（本小题满分14分）
已知抛物线．
（1）求证：抛物线与轴必定有公共点；
（2）若P（，y1），Q（－2，y2）是抛物线上的两点，且y1y2，求的取值范围；
（3）设抛物线与x轴交于点、，点A在点B的左侧，与y轴负半轴交于点C，且，若点D是直线BC下方抛物线上一点，连接AD交BC于点E，
记△ACE的面积为S1，△DCE的面积为S2，求是否有最值？若有，求出该最值；若没有，请说明理由．
九年级数学答案与评分标准
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题号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7[来源:学科网ZXXK] |
8 |
9 |
10 |
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答案 |
A |
C |
B |
A |
B |
D |
D |
C |
C |
A |
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，满分30分）
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，满分18分）
11． 12． 13．
14． 15． 16．①②③④
评分细则：第16题写对一个或二个给1分，写对三个给2分，全部写对给3分。
三、解答题(本大题共9小题，满分102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解：
由①得x＞-3，……………………3分
由②得x≤1. ……………………6分
不等式组的解集在数轴上表示为：
……………8分
∴原不等式组的解集为 -3＜x≤1. ………………9分
18．证明：∵CE＝BF， ∴CF＝BE ………………4分
在△BAE与 △CDF中
∴ △BAE≌△CDF（SSS） …………7分
∴ ∠B＝∠C ………… 9分
19．解：（1）50，108°………… 4分
（2）2000×=400人………… 6分
（3）设甲班的两人为甲1、甲2，乙班的两人为乙1、乙2，画树状图如下：
………… 8分
从树状图可以看出，共有12种等可能的结果，其中抽取的人来自不同班级的结果有8种 ………… 9分
∴ 抽取的人来自不同班级的概率是………… 10分
20．（1）解：如图，BE为所求作的角平分线 …………3分
（2） 在□ABCD中， 得 AD∥BC
∴ ∠AEB＝∠EBC…………4分
又 ∠ABE＝∠EBC
∴ ∠AEB＝∠ABE
∴ AB＝AE=
∴ DE＝…………5分
…………9分
当时，…………10分
21．（1）解：如图，作BD⊥AC于点D，………1分
在Rt△ABD中，∠ABD=67°，AB=280
∴ ………5分
答：B地到直线AC的距离约为109.4km．
（2） ∵
∴ ………7分
在Rt△BCD中，∠CBD=30°
∴[………10分
∴
答：隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到C地的路程将缩短85.4km．………12分
22．解： （1）∵四边形ABCD是菱形
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD…………3分
∵AC＝10，BD＝24
∴ AO＝5，BO＝12 …………4分
∴AB＝13 …………5分
∴菱形ABCD的周长是52 …………6分
（2）若AB⊥BC，则四边形AEOF是正方形，理由如下：…………7分
∵E、O分别是AB、BD中点，∴OE∥AD， 即：OE∥AF
同理可证：OF∥AE
∴四边形AEOF是平行四边形…………9分
∵AB＝AD，∴AE＝AF
∴平行四边形AEOF是菱形…………11分
∵AB⊥BC，∴∠BAD＝90°，所以菱形AEOF是正方形…………12分
23．解：（1）∵点A到x轴的距离是4
∴点A的纵坐标是 ……………2分
把代入得：
∴ 点A的坐标是或 ……………4分
（2）由（1）可得：…………5分
当时，
∴点B的坐标是…………6分
设直线AB的解析式是 ……………7分
把A、B代入得：
解得： ∴ 直线AB的解析式是…………9分
把A、B代入得：
解得： ∴ 直线AB的解析式是…………12分
综上所述：直线AB的解析式是或[来源:学科网ZXXK]
评分细则：若只写对一种情况，本小题给6分。
24．解：（1）①∵∠A＝60°
∴∠ABC＋∠ACB＝120°…………1分
∵⊙O是△ABC的内切圆
∴ BD平分∠ABC，CE平分∠ACB
∴∠DBC＋∠ECB＝60°…………2分
∴∠BOC＝120°…………3分
②BC= BE＋CD…………4分
解法1：作∠BOC的平分线OF交BC于点F，
∵∠BOC＝120°
∴∠BOE＝60°，∠BOF＝60°
在△BOE与 △BOF中
∴ △BOE≌△BOF（ASA）
∴ BE=BF …………6分
同理可证：CD=CF …………8分
∴ BC= BE＋CD
解法2：在BC上截取BF=BE，
可证 △BOE≌△BOF（SAS）…………5分
∴∠BOE＝∠BOF
∵∠BOC＝120° ∴∠BOE＝∠COD ＝∠COF＝60°
可证：△COD≌△COF（ASA）…………7分
∴ CD=CF …………8分
∴ BC= BE＋CD
（2）如图，连接AO并延长，交BC于点N，交ED于点M
∵⊙O是△ABC的内切圆 ∴ AO是∠BAC的平分线，
又 AB＝AC， ∴ AN⊥BC
∵AB＝AC＝10，sin∠ABC＝ ∴ AN＝8，BN＝6 …………9分
由切线长定理得：BN＝BE=6，AE=AD＝4，
∵点D、E是⊙O的切点，连接OE，∠AEO=∠ANB，∠BAN=∠BAN，
∴△AOE∽△ABN ∴ ， 即
解得…………10分
∴
∵，∠BAC=∠BAC
∴△AED∽△ABC
∴ ，………12分
以D、E、F、G为顶点的四边形是矩形
∴∠DEF＝90°
∴ 是⊙O 的直径…………13分
∴
∴平移的距离是…………14分
25．解：（1）解法1：令 得
∴………1分
∴ ………2分
无论取何值，
∴ 抛物线与轴必定有公共点 …………3分
解法2：∵
∴ 抛物线的顶点坐标是，…………1分
无论取何值，≤0
∴ 抛物线的顶点坐标在第四象限或轴正半轴上…………2分
∵ 抛物线的开口向上
∴ 抛物线与轴必定有公共点 …………3分
解法3：令 即
根据公式法得： …………1分
∴ ， …………2分
当时，， 当时，，
∵ 抛物线的开口向上
∴ 无论取何值，抛物线与轴必定有公共点 …………3分
（2）∵ ∴抛物线的对称轴是 …………4分
当点P在对称轴的左侧时，随的增大而减小，
∵y1y2 ∴ …………5分
当点P在对称轴的右侧时，随的增大而增大，
Q（－2，y2）关于对称轴的对称点是（3，y2）…………6分
∵y1y2 ∴ …………7分
综上所述：或
（3）解法1：由（1）中解法3可得：，
∵ ∴ ，解得或
∴ …………9分
∴ 、，
∴ 直线BC的解析式是…………10分
设点A到直线BC的距离是，点D到直线BC的距离是，
△ACE的面积S1，△DCE的面积S2
∴ ， ……………11分
∴ 求的最值转化为求的最值
设过点D与直线BC平行的直线解析式为
当点D在直线BC下方的抛物线上运动时，无最小值，仅当直线与抛物线只有一个公共点时，有最大值……………12分
即方程组有两个相等的实数根
∴， ，
∴，此时………13分
∴ 没有最小值；有最大值是…………14分
解法2：∵点在点 的左侧，与y轴负半轴交于点C， ∴ ，
∵ ∴，又
解得：，，∴ …………9分
可得：、，
∴直线BC的解析式是 …………10分[来源:Z*xx*k.Com]
设点C到直线AD的距离是
△ACE的面积S1，△DCE的面积S2
∴ ……………11分
分别过点A、D作y轴的平行线交BC于点N、点M
∵AN//DM ∴ △DME∽△ANE， ∴
∴， ……………12分[来源:学科网ZXXK]
∴ ……………13分
∵ 当时，没有最小值， 有最大值是……………14分
解法3：∵ ∴
又∵ 抛物线的对称轴是，即点、到对称轴的距离都是
∴、 （以下同解法1或解法2）
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