天津市和平区八年级下《17.2勾股定理的逆定理》同步练习（答案）

9、已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a²c²﹣b²c²=a⁴﹣b⁴，判断△ABC的形状（    ）

   A．等腰三角形      B．直角三角形      C．等腰直角三角形    D．等腰三角形或直角三角形

10、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a²+b²+c²+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状(      )。

   A. 直角三角形       B.等腰三角形      C.锐角三角形       D.钝角三角形

11、如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数（  ）

    A．6          B．7          C．8          D．9

12、如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.若PA:PB:PC=3:4:5，连结PQ，试判断△PQC的形状（     ）

   A.直角三角形        B.等腰三角形         C.锐角三角形       D.钝角三角形

二、填空题：

13、有四个三角形，分别满足下列条件：

（1）一个内角等于另外两个内角之和；

（2）三个内角之比为3：4：5；

（3）三边之比为5：12：13；

（4）三边长分别为7、24、25．

其中直角三角形有          个．

14、在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，

①若a²＋b²＞c²，则∠c为____________；

②若a²＋b²＝c²，则∠c为____________；

③若a²＋b²＜c²，则∠c为____________．

15、已知一个三角形的三边长分别是12，16，20，则这个三角形的面积为         ．

16、如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则BC的长为__________．

17、已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式+|a-b|=0,则△ABC的形状为       。  

18、如图，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，则△ABC的面积为______．

19、如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是       。

20、如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上均速移动，它们的速度分别为V_p=2cm/s，V_Q=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=       s时,△PBQ为直角三角形．

三、简答题：

21、如图,有一块地,已知AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°,AB=13m,BC=12m.求这块地的面积。

22、如图,是一块四边形绿地的示意图,其中AB长为24米,BC长15米,CD长为20米,DA长7米,∠C=90°.求绿地ABCD的面积．

23、已知△ABC三边长a,b,c满足a²+b²+c²-12a-16b-20c+200=0,请判断△ABC的形状并说明理由.

24、已知:△ABC的三边分别为m²－n²,2mn,m²+n²(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.
 

25、如图,已知一块四边形草地ABCD,其中∠A=45°,∠B=∠D=90°,AB=20m,CD=10m,求这块草地的面积．

26、在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图所示．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要暂时封锁？请通过计算进行说明．

勾股定理逆定理同步测试题

1、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是(         )

   A．6，8，10 B．5，12，13    C．1，2，3  D．9，12，15

2、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（      ）

3、三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）²=c²+2ab，则这个三角形是(          )

   A．等边三角形   B．钝角三角形   C．直角三角形   D．锐角三角形

4、若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a²＋b²－c²）=0，则△ABC是（       ）

   A.等腰三角形              B.直角三角形     C.等腰三角形或直角三角形       D.等腰直角三角形

5、下列说法中, 不正确的是 (       )

   A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形  B. 三个角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形

    C. 三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形      D. 三边长度之比为5:12:13的三角形是直角三角形

6、有长度为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm的五根木棒,可搭成（首尾连接）直角三角形的个数为 （      ）

   A.1个                  B.2个                     C.3个                  D.4个

7、有下列判断:①△ABC中，，则△ABC不直角三角形；②△ABC是直角三角形，，则；③△ABC中，，则△ABC是直角三角形；④若△ABC是直角三角形，则（，正确的有（         ）

   A、4个                     B、3个                      C、2个                  D、1个

8、如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（        ）

   A．2                           B．              C．                D． 
                       

9、 如图,有一块地,已知AD=4米,CD=3米,∠ADC=90°,AB=13米,BC=12米,则这块地的面积为(        )

   A. 24平方米             B. 26平方米             C. 28平方米           D. 30平方米

10、在下列条件中：①在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3；②三角形三边长分别为3²，4²，5²；③在△ABC中,三边a，b，c满足(a+b)(a-b)=c²；④三角形三边长分别为m-1,2m,m+1(m为大于1的整数)，能确定△ABC是直角三角形的条件有(   )

    A．1个              B．2个           C．3个            D．4个

11、在△ABC中，如果（a+b）（a﹣b）=c²，那么∠       =90°．

12、若三角形三边分别为6，8，10，那么它最长边上的中线长是         ．

13、某住宅小区有一块草坪如图4所示，已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，

DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是              。

14、若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数),则以a-2、a、a+2为边的三角形面积为        ．

15、在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是________．

16、如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒,连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值              ．

17、如图,一块地,已知AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°,AB=13m,BC=12m.求这块地的面积。

18、如图，已知∠ADC=90°，AD=8，CD=6，AB=26，BC=24．

（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．

19、如图，在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,F为BC中点,BE与DF,DC分别交于点G,H,∠ABE＝∠CBE．(1)求证：BH=AC；(2)求证：BG²－GE²＝EA²．

20、已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a²c²﹣b²c²=a⁴﹣b⁴，试判断△ABC的形状．

解：∵a²c²﹣b²c²=a⁴﹣b⁴，①

∴c²（a²﹣b²）=（a²+b²）（a²﹣b²）．②

∴c²=a²+b²．③

∴△ABC是直角三角形．

问：

（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：           ；

（2）错误的原因为           ；

（3）本题正确的解题过程：

例题答案详解

【例1】解：（1）∵（）²+1²==（）²，∴BC²+AC²=AB²．∴△ABC是直角三角形；

（2）∵（n²﹣1）²+（2n）²=n⁴+2n²+1=（n²+1）²，∴a²+b²=c²，∴△ABC是直角三角形．

【例2】解析：由a²+b²+c²+50=6a+8b+10c，得 ：a²-6a+9+b²-8b+16+c²-10c+25=0,
     ∴ (a-3)²+(b-4)²+(c-5)²=0。
     ∵ (a-3)²≥0, (b-4)²≥0, (c-5)²≥0。 ∴ a=3，b=4，c=5。
     ∵ 3²+4²=5², ∴ a²+b²=c²。 由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。

【例3】①通过SAS证明全等  ② 13

【例4】15²+112²+113².

【例5】提示：连结AE，设正方形的边长为4a，计算得出AF，EF，AE的长，由AF²＋EF²＝AE²得结论．

【例6】提示：延长FD到M使DM＝DF，连结AM，EM．

课堂同步参考答案

1、C  2、B  3、D  4、B  5、C  6、D  7、D   8、C   9、D  10、A  11、C  12、A

13、答案为3．

14、①锐角；②直角；③钝角．

15、96

16、14

17、等腰直角三角形  

18、6．提示：延长AD到E，使DE＝AD，连结BE，可得△ABE为Rt△．

19、

20、或 

21、24

22、【解答】解：连接BD．如图所示：

∵∠C=90°，BC=15米，CD=20米，∴BD===25（米）；

在△ABD中，∵BD=25米，AB=24米，DA=7米，24²+7²=25²，即AB²+BD²=AD²，

∴△ABD是直角三角形．∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BCD=AB•BD+BC•CD=×24×7+×15×20=84+150=234（平方米）；

即绿地ABCD的面积为234平方米．

23、a=6,  b=8,  c=10, 直角三角形

24、证明：
              
      所以△ABC是直角三角形.

25、150m²．提示：延长BC，AD交于E．

26、解：公路AB需要暂时封锁．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．

因为BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，所以根据勾股定理有AB=500米．

因为S_△ABC=AB•CD=BC•AC所以CD=240米．

由于240米＜250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁．

同步测试题参考答案

1、C  2、C   3、C   4、C    5、B    6、B    7、C   8、C   9、A   10、B

11、90°．

12、5．

13、36

14、8提示：7＜a＜9，∴a＝8．

15、 108     

16、2,6,3.5,4.5

17、24

18、解答】（1）证明：∵在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=8，CD=6，

∴AC²=AD²+CD²=8²+6²=100，∴AC=10（取正值）．

在△ABC中，∵AC²+BC²=10²+24²=676，AB²=26²=676，

∴AC²+BC²=AB²，∴△ABC为直角三角形；

（2）解：S_阴影=S_Rt△ABC﹣S_Rt△ACD=×10×24﹣×8×6=96．

 19、证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，

∵∠ABC=45°，∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC∴DB=DC，                              1’

∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，   ∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，∴∠HBD=∠ACD， 

∵在△DBH和△DCA中， ∠BDH＝∠CDA    BD＝CD   ∠HBD＝∠ACD

∴△DBH≌△DCA（ASA），∴BH=AC．

（2）连接CG， 由（1）知，DB=CD，
∵F为BC的中点，∴DF垂直平分BC，∴BG=CG，
∵点E为AC中点，BE⊥AC，∴EC=EA，
在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG²-GE²=CE²，
∵CE=AE，BG=CG，∴BG²-GE²=EA²． 

20、【解答】解：（1）③

（2）除式可能为零；

（3）∵a²c²﹣b²c²=a⁴﹣b⁴，

∴c²（a²﹣b²）=（a²+b²）（a²﹣b²），∴a²﹣b²=0或c²=a²+b²，

当a²﹣b²=0时，a=b；当c²=a²+b²时，∠C=90°，

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

故答案是③，除式可能为零．

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