新人教版八年级数学下《第18章平行四边形》单元评价检测试卷（答案）

单元评价检测(三)

(第十八章)

(45分钟 100分)

一、选择题(每小题4分,共28分)

1.下列语句正确的是 (  )

A.对角线互相垂直的四边形是菱形

B.有两边及一角对应相等的两个三角形全等

C.矩形的对角线相等

D.平行四边形是轴对称图形

【解题指南】由菱形的判定方法得出选项A错误;由全等三角形的判定方法得出选项B错误;由矩形的性质得出选项C正确;由平行四边形的性质得出选项D错误;即可得出结论.

【解析】选C.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,故A错;两边及其夹角对应相等的两个三角形全等,故B错;矩形的对角线相等,故C正确;平行四边形是中心对称图形,故D错.

【变式训练】下列命题:

①平行四边形的对边相等;

②对角线相等的四边形是矩形;

③正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形;

④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.

其中真命题的个数是 (  )

A.1    B.2    C.3    D.4

【解析】选C.平行四边形的对边相等,①正确;对角线相等的平行四边形是矩形,②错误;正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形,③正确;一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形,④正确,所以有3个真命题.

2.(2017·黔东南州模拟)如图,在▱ABCD中,AD=8,点E,F分别是BD,CD的中点,则EF等于 (  )

 

A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】选C.∵四边形ABCD是平行四边形,

∴BC=AD=8.∵点E,F分别是BD,CD的中点,

∴EF=BC=×8=4.

3.(2017·衢州中考)如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于 (  )

 

 

A. B. C. D.

【解题指南】根据折叠的性质得到AE=AB,∠E=∠B=90°,易证Rt△AEF≌Rt△CDF,即可得到结论EF=DF;易得FC=FA,设FA=x,则FC=x,FD=6-x,

在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x²=4²+(6-x)²,解方程求出x.

【解析】选B.∵矩形ABCD沿对角线AC对折,使△ABC落在△AEC的位置,

∴AE=AB,∠E=∠B=90°,

又∵四边形ABCD为矩形,

∴AB=CD,

∴AE=DC,

而∠AFE=∠CFD,

∵在△AEF与△CDF中,

 

∴△AEF≌△CDF(AAS),

∴EF=DF.

∵四边形ABCD为矩形,

∴AD=BC=6,CD=AB=4,

∵Rt△AEF≌Rt△CDF,

∴FC=FA,

设FA=x,则FC=x,FD=6-x,

在Rt△CDF中,CF²=CD²+DF²,

即x²=4²+(6-x)²,解得x=,

则FD=6-x=.

4.(2017·北流市一模)如图,四边形ABCD是菱形,A(3,0),B(0,4),则点C的坐标为 (  )

 

A.(-5,4) B.(-5,5)

C.(-4,4) D.(-4,3)

【解析】选A.∵A(3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4,

∴AB==5,∵四边形ABCD是菱形,

∴BC=AD=AB=5,∴点C的坐标为(-5,4).

5.顺次连接矩形ABCD各边中点,所得四边形必定是 (  )

A.邻边不等的平行四边形

B.矩形

C.正方形

D.菱形

【解析】选D.如图,E,F,G,H为矩形各边的中点,连接AC,BD.根据三角形中位线定理,得EF∥AC,EF=AC,HG∥AC,

HG=AC,EH=BD.

∴EF∥HG,EF=HG,

∴四边形EFGH为平行四边形.

又∵AC=BD,∴EF=EH.∴四边形EFGH为菱形.

6.(2017·威海模拟)在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E为CD的中点,连接AE交BC的延长线于F点,P为BC上一点,当∠PAE=∠DAE时,AP的长为 (  )

A.4 B. C. D.5

 

【解析】选B.∵AD∥BC,∴∠DAE=∠F,

又∵∠PAE=∠DAE,∴∠PAE=∠F,

∴PA=PF.∵E为DC中点,∴DE=CE.又∵∠AED=∠FEC,

∴△ADE≌△FCE,∴CF=AD=4,

设CP=x,PA=PF=x+4,BP=4-x,

在直角△ABP中,2²+(4-x)²=(x+4)²,

解得:x=,

∴AP的长为.

【变式训练】如图,把矩形ABCD沿EF翻

折,点B恰好落在AD边的B’处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是 (  )

 

A.12   B.24   C.12   D.16

【解析】选D.由两直线平行内错角相等,知∠DEF=∠EFB=60°,∴∠AEF=

∠A’EF=120°,∴∠A’EB’=60°,A’E=AE=2,求得A’B’=2,∴AB=2,矩形ABCD的面积为S=2×8=16.

7.如图所示,E,F分别是正方形ABCD的边CD,AD上的点,且CE=DF,AE,BF相交于点O,下列结论①AE=BF;②AE⊥BF;

③AO=OE;④S_△AOB=S_{四边形DEOF}中,错误的有 (  )

 

A.1个 B .2个 C.3个 D.4个

【解析】选A.∵四边形ABCD是正方形,∴CD=AD.

∵CE=DF,∴DE=AF,又∵AD=AB,∠BAF=∠D,∴△ADE≌△BAF,

∴①AE=BF,S_△ADE=S_△BAF,

∠DEA=∠AFB,∠EAD=∠FBA,

∴④S_△AOB=S_{四边形DEOF}.

∵∠ABF+∠AFB=∠DAE+∠DEA=90°,

∴∠AFB+∠EAF=90°,

∴②AE⊥BF一定成立.错误的结论是:③AO=OE.

二、填空题(每小题5分,共25分)

8.(2017·徐州中考)△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,DE=7,则BC=________.

【解析】∵D,E分别是△ABC的边AB和AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∵DE=7,∴BC=2DE=14.

答案:14

9.已知矩形的对角线AC与BD相交于点O,若AO=1,那么BD=________.

 

【解析】在矩形ABCD中,

∵对角线AC与BD相交于点O,AO=1,

∴AO=CO=BO=DO=1,∴BD=2.

答案:2

10.(2017·连云港中考)如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若∠EAF=56°,则∠B=________. 

 

【解析】∵AE⊥BC,AF⊥CD,

∴∠AEC=∠AFC=90°,

在四边形AECF中,∠C=360°-∠EAF-∠AEC-∠AFC=360°-56°-90°-90°=

124°,

在▱ABCD中,∠B=180°-∠C=180°-124°=56°.

答案:56°

11.(2017·乌鲁木齐中考)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2,则菱形ABCD的面积为________.

 

【解析】∵菱形ABCD,∴AD=AB,OD=OB,OA=OC,∵∠DAB=60°,∴△ABD为等边三角形,∴BD=AB=2,∴OD=1,在Rt△AOD中,根据勾股定理得:AO==,∴AC=2,则S_菱形ABCD=AC·BD=2.

 

答案:2

12.(2017·安顺中考)如图所示,正方形ABCD的边长为6,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为__________.

 

【解析】设BE与AC交于点P,连接BD,

∵点B与D关于AC对称,

∴PD=PB,

∴PD+PE=PB+PE=BE最小.

即P在AC与BE的交点上时,PD+PE最小,为BE的长度;

∵正方形ABCD的边长为6,

∴AB=6.

又∵△ABE是等边三角形,

∴BE=AB=6.

故所求最小值为6.

 

答案:6

三、解答题(共47分)

13.(10分)如图,在▱ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.

(1)求证:△ADE≌△CBF.

(2)求证:四边形BFDE为矩形.

【证明】(1)∵DE⊥AB,BF⊥CD,

∴∠AED=∠CFB=90°,

∵四边形ABCD为平行四边形,

∴AD=BC,∠A=∠C,

在△ADE和△CBF中,

∴△ADE≌△CBF(AAS).

(2)∵四边形ABCD为平行四边形,∴CD∥AB,

∴∠CDE+∠DEB=180°,

∵∠DEB=90°,∴∠CDE=90°,

∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°,

则四边形BFDE为矩形.

14.(12分)(2017·鄂州中考)如图,将矩形ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点F处,FC交AD于点E.

(1)求证:△AFE≌△CDE.

(2)若AB=4,BC=8,求图中阴影部分的面积.

 

【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠B=∠D=90°.

由折叠,得AB=AF,∠B=∠F.∴AF=CD,∠F=∠D.

又∵∠AEF=∠DEC,∴△AFE≌△CDE.

(2)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.∴∠CAE=∠ACB.

由折叠,得∠ACB=∠ACE,AF=AB=4,CF=BC=8.

∴∠CAE=∠ACE.∴AE=CE.

设AE=x,则CE=x,EF=8-x.

在Rt△AEF中,由勾股定理得AE²=AF²+EF².

∴4²+(8-x)²=x².解得x=5,即AE=5.

∴S_阴影=AE·AB=×5×4=10.

15.(12分)(2017·张家界中考)如图,在平行四边形ABCD中,边AB的垂直平分线交AD于点E,交CB的延长线于点F,连接AF,BE.

(1)求证:△AGE≌△BGF.

(2)试判断四边形AFBE的形状,并说明理由.

 

【解题指南】(1)由平行四边形的性质得出AD∥BC,得出∠AEG=∠BFG,由AAS证明△AGE≌△BGF即可.

(2)由全等三角形的性质得出AE=BF,由AD∥BC,证出四边形AFBE是平行四边形,再根据EF⊥AB,即可得出结论.

【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD∥BC,

∴∠AEG=∠BFG,

∵EF垂直平分AB,

∴AG=BG,

在△AGE和△BGF中,

∴△AGE≌△BGF(AAS).

(2)四边形AFBE是菱形.理由如下:

∵△AGE≌△BGF,

∴AE=BF,

∵AD∥BC,

∴四边形AFBE是平行四边形,

又∵EF⊥AB,

∴四边形AFBE是菱形.

16.(13分)我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.

(1)如图1,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形.

(2)如图2,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并证明你的猜想.

(3)若改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必证明)

 

【解析】(1)如图1中,连接BD.

∵点E,H分别为边AB,DA的中点,

∴EH∥BD,EH=BD,

∵点F,G分别为边BC,CD的中点,

∴FG∥BD,FG=BD,∴EH∥FG,EH=GF,

∴中点四边形EFGH是平行四边形.

(2)四边形EFGH是菱形.

证明:如图2中,连接AC,BD.

∵∠APB=∠CPD,

∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD,

即∠BPD=∠APC,

 

在△APC和△BPD中,

∴△APC≌△BPD,∴AC=BD.

∵点E,F,G分别为边AB,BC,CD的中点,

∴EF=AC,FG=BD,∴EF=FG.

∵四边形EFGH是平行四边形,

∴四边形EFGH是菱形.

(3)四边形EFGH是正方形.

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